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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.2.1 配方法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝2a﹣b2，则方程（2★1）★x＝﹣10的解为（ ）
A．±4 B．±3 C．±2 D．±1
3．下列配方中，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P的坐标为（m－1,m2－2m－3）,则点P到直线y＝－5距离的最小值为（ ）．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
9．用配方法解一元二次方程x2+2x-5=0，此方程可变形为（ ）
A．（x-1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+1）2=4 D．（x-1）2=1
10．把方程2x2﹣3x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．m＝﹣，n＝ B．m＝﹣，n＝
C．m＝﹣，n＝ D．m＝﹣，n＝
11．把方程配方，得（ ）
A． B．
C． D．
12．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．将一元二次方程变形为的形式为 ．
14．已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ．
15．用配方法解方程时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
16．当 时，代数式的值等于．
17．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．（1）解方程：．
（2）和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将向右平移4个单位得到，画出平移后的图形；
②将绕点S按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
20．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．
示例：当时，求的最小值．
解：，当，即时，的最小值为6．
（1）尝试：当时，求的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
21．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣4≥-4
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ；
（2）求证：无论x取何值，代数式x2﹣6x+10的值都是正数；
（3）若代数式2x2+kx+20的最小值为2，求k的值．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.2.1 配方法
一、单选题
1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
2．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝2a﹣b2，则方程（2★1）★x＝﹣10的解为（ ）
A．±4 B．±3 C．±2 D．±1
【答案】A
【详解】解：根据题中的新定义得：2★1，
∴（2★1）★x＝3★x，
方程变形得：，
即，
解得：．
3．下列配方中，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵
∴A不合题意；
∵
∴B不合题意；
∵
∴
∴C符合题意；
∵
∴D不合题意；
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：方程移项得：，
配方得：，即．
5．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：方程x2-4x-5=0，
移项得：x2-4x=5，
配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9．
6．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
7．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】x2 4x＝7，
x2 4x＋4＝11，
所以（x 2）2＝11．
8．已知点P的坐标为（m－1,m2－2m－3）,则点P到直线y＝－5距离的最小值为（ ）．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【详解】点P到直线y=-5的距离是|m2-2m-3-（-5）|=|m2-2m+2|=|（m-1）2+1|，
当m-1=0时，点P到直线y=-5的最小值为1．
9．用配方法解一元二次方程x2+2x-5=0，此方程可变形为（ ）
A．（x-1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+1）2=4 D．（x-1）2=1
【答案】B
【详解】x2+2x-5=0，
移项得x2+2x=5，
方程两边同加上1得，x2+2x+1=6，
配方得（x+1）2=6，
10．把方程2x2﹣3x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．m＝﹣，n＝ B．m＝﹣，n＝
C．m＝﹣，n＝ D．m＝﹣，n＝
【答案】A
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即
则，
11．把方程配方，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
12．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵为负整数，
为负整数，
故①的结论正确；
∵，
又，
∴，且有最小值2，
∴有最大值3，
∴，
∴②的结论正确；
∵，
∴m＝x＋2，n 6＝ （x＋2），
∴m＝x＋2，n＝4 x．
∴m2＋n2＋mn
＝(m＋n)2 mn
＝36 （ x2＋2x＋8）
＝x2 2x＋28
＝(x 1)2＋27，
∵(x 1)2≥0，
∴m2＋n2＋mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
二、填空题
13．将一元二次方程变形为的形式为 ．
【答案】
【详解】解：
14．已知关于的方程的左边是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】或/或
【详解】解：根据题意可得，
当时，，
∴，整理得，，符合题意；
当时，，
∴，整理得，，符合题意；
综上所述，的值为或，
15．用配方法解方程时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
【答案】
【详解】用配方法解方程时，方程的两边同加上，即，使得方程左边配成一个完全平方式．
16．当 时，代数式的值等于．
【答案】
【详解】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4，
配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5，
开方得：x-1=±，
解得：x=1±．
17．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形
【答案】等腰
【详解】解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
则△ABC为等腰三角形．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)无解
【
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
去分母：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
当时，，
故是方程的增根，原方程无解．
19．（1）解方程：．
（2）和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示．
①将向右平移4个单位得到，画出平移后的图形；
②将绕点S按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．
【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
解得：，；
（2）①如图1所示，即为所求：
根据坐标的变化规律，三角形三个顶点坐标横坐标均增加，
纵坐标不变，即可画出图形；
如图1所示，即为所求；
②旋转后的图形如图2所示：根据旋转的性质，连接，；
先画出，再利用和的相对位置关系不变性，可以找到点；
同理可以找到点，最后把三个点顺次连接即可．
20．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．
示例：当时，求的最小值．
解：，当，即时，的最小值为6．
（1）尝试：当时，求的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
【答案】（1）3；（2）10，2.5．
【详解】解：（1）∵=≥=3，
∴当，即x=1时，y的最小值为3；
（2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
21．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣4≥-4
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）x2+4x﹣1＝x2+2 x 2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ；
（2）求证：无论x取何值，代数式x2﹣6x+10的值都是正数；
（3）若代数式2x2+kx+20的最小值为2，求k的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）∵x2+4x-1=x2+2 x 2+22-22-1=（x+2）2-5=（x+a）2+b，
∴a=2，b=-5，
∴ab=2×（-5）=-10．
故答案是：-10；
（2）证明：∵x2-6x+10= x2-6x+9+1=（x-3）2+1，
∵（x-3）2≥0，
∴x2-6x+10的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2-6x+10的值都是正数；
（3）
∵，
∴的最小值为，
∴，解得k=±12．
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