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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.2.2 公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．64
2．一元二次方程的实数根是（ ）
A．2 B． C． D．
3．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k<1 C．k≥1 D．k>1
6．方程4x2－25＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝± D．x＝±
7．如果多项式的值为，则的值为（ ）
A．2 B．2或-2 C．-1 D．2或-1
8．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．＝（x+2）（x﹣2） B．﹣4x+4＝(x﹣2)
C． +x＝x（x+1） D． +t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t
10．是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛。例如：
，当时；
，当时；
，当时；
下列说法正确的个数是（ ）
①当时，；
②当时，若，则；
③如果，那么．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
13．若，则 ， .
14．若与互为倒数，则的值是 ．
15．若方程有解，则a的取值范围是 .
16．已知，，则关于的方程的解为 ．
17．若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
三、解答题
18．选择适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
19．图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等等．小华针对古代数学家赵爽的构图解法进行了探究，请你帮助进行归纳概括．
提出问题：怎样图解一元二次方程（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：；
（2）构图：如图所示，画出四个长为，宽为x的矩形；
（3）解答：大正方形面积的两种表达方式为，．
由面积相等得．
∵，
∴．
．
∵＞0，
∴
．
归纳概括：
请参照上述研究方法求一元二次方程（x＞0，b＞0，c＞0）的解．并画出示意图，标记出相应线段的长．
20．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
21．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0，
（1）求证：不论k为任何实数，方程总有实数根；
（2）若k=﹣1时，用公式法解这个一元二次方程．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.2.2 公式法
一、单选题
1．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．64
【答案】D
【详解】解：
2．一元二次方程的实数根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：移项，利用直接开平方法即可求解．
试题解析：∵
∴y2=4
∴y=±2.
3．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
4．用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：方程整理得，
∴，
5．若关于的方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．k≤1 B．k<1 C．k≥1 D．k>1
【答案】B
【详解】试题分析：解：解方程（x+1）2=k﹣1得到：x+1=±,
∵关于x的方程（x+1）2=k﹣1没有实数根,
∴k﹣1＜0,
解得,k＜1．
6．方程4x2－25＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝± D．x＝±
【答案】C
【详解】解： ，
，
7．如果多项式的值为，则的值为（ ）
A．2 B．2或-2 C．-1 D．2或-1
【答案】D
【详解】解：依题意，得
（2x-1）2=9，
开平方，得
2x-1=±3，
则2x=1±3，
解得，x=2或x=-1．
8．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意知2x2＋3＋2x2 4＝0，
整理，得：4x2 1＝0，
则4x2＝1，
x2＝，
∴x＝±，
9．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．＝（x+2）（x﹣2） B．﹣4x+4＝(x﹣2)
C． +x＝x（x+1） D． +t﹣16＝（t+4）（t﹣4）+t
【答案】C
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．令，解得，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
10．是一个求和符号，英文名称：sigma，汉语名称西格玛。例如：
，当时；
，当时；
，当时；
下列说法正确的个数是（ ）
①当时，；
②当时，若，则；
③如果，那么．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：①当时，，故①正确；
②当时，，
，
，
，
故②正确；
③，
①，
，
②，
①②得：，
①②得：，
，，
．
故③正确．
11．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．或1
【答案】A
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，
∴AB=，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠BAD=45°，∴AE=DE，
设DE=x，则AE=DE=x，AD=，BE=，
在Rt△BDE中，,
∴BD=，
则CD=，
在Rt△ACD中，,
即,
，
，
，
，即，
，
∴x=，
∴x1=(舍去)，x2=，
∴点D到AB的距离是，
二、填空题
13．若，则 ， .
【答案】 2 2
【详解】解：直接开方得，解得，所以
14．若与互为倒数，则的值是 ．
【答案】±
【详解】试题分析：根据互为倒数的两数之积为1可列方程，即可得出x的值．
15．若方程有解，则a的取值范围是 .
【答案】a≥0
【详解】试题分析：∵方程有实数解，∴，∴a≥0；故答案为．
16．已知，，则关于的方程的解为 ．
【答案】，
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，．
17．若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，
∴，且为正整数，
解得，且为正整数，
∴可以为
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题
18．选择适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
，即：，
，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
19．图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等等．小华针对古代数学家赵爽的构图解法进行了探究，请你帮助进行归纳概括．
提出问题：怎样图解一元二次方程（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：；
（2）构图：如图所示，画出四个长为，宽为x的矩形；
（3）解答：大正方形面积的两种表达方式为，．
由面积相等得．
∵，
∴．
．
∵＞0，
∴
．
归纳概括：
请参照上述研究方法求一元二次方程（x＞0，b＞0，c＞0）的解．并画出示意图，标记出相应线段的长．
【答案】，图见详解
【详解】解：变形：方程变形为．
构图：如图所示，画出四个长为，宽为x的矩形；
解答：由图知，大正方形面积的两种表达方式为，．
由面积相等得．
因为，
所以．
因为x＞0，
所以．
示意图如下：
20．如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
【答案】(1)会进入台风影响区
(2)8.3小时
(3)轮船受到台风影响一共经历了11小时
【详解】（1）解：根据题意得：
∵，
∴
当台风到A点时，时间为
则船行驶的路程为
∵
∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；
（2）解：如图所示：
设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
千米，千米，
，，
，
，，
，
即，
解得：，，
轮船经8.3小时就进入台风影响区；
（3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响，
轮船受台风影响的时间（小时），
答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．
21．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0，
（1）求证：不论k为任何实数，方程总有实数根；
（2）若k=﹣1时，用公式法解这个一元二次方程．
【答案】（1）见解析； （2）x1=，x2=．
【详解】（1）结合方程的各项系数以及根的判别式即可得出△=k2+12>0，由此证出不论k为何实数，方程总有实数根；（2）将x=-1代入原方程，利用公式法解一元二次方程即可得出结论.
（1）证明：∵在方程x2+kx-3=0中，△=k2-4×1×（-3）=k2+12≥12，
∴不论k为任何实数，方程总有实数根.
（2）当k=-1时，原方程为x2-x-3=0，
∴△=12+12=13，
∴x1=，x2=．
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