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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.2.3 因式分解法
一、单选题
1．方程x2=x的根是（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=－1
【答案】C
【详解】∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
2．方程（x+1）＝x（x+1）的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【答案】D
【详解】解：（x+1）＝x（x+1）
∴（x+1）- x（x+1）＝0
∴（x+1）（1-x）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣1
3．方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
，
或，
即，，
4．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：若，则；方程的根是；若直角三角形的两边长为和，则第三边的长为．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】（1）若x2＝a2，则x＝±a，故错误；
（2）方程2x（x 1）＝x 1需要先移项再利用因式分解解方程得，x＝或x＝1，故错误；
（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5或，上题中漏掉了4为斜边的情况，故错误．
5．已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：由一元二次方程x2﹣10x+9＝0可得：，
∴当该等腰三角形的腰长为1，底边为9时，1+1＜9，不符合题意三角形三边关系，舍去；
当该等腰三角形的腰长为9，底边为1时，1+9＞9，符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的周长为9+9+1=19；
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．0或 D．0或1
【答案】B
【详解】解：，
，
，
解得：，，
7．一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B
【详解】∵，
∴，
∴或，
∴或，
当三边是2，2，4时，
∵，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是3，3，4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是．
8．若要使2x2－3x－5的值等于4－6x的值，则x应为( )
A．－或－3 B．或－3 C．－或3 D．或3
【答案】B
【详解】解：∵2x2-3x-5的值等于4-6x的值，
∴2x2-3x-5=4-6x，整理得，2x2+3x-9=0，即（2x-3）（x+3）=0，解得x1= ，x2=-3．
9．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的基本解法解答即可；
【详解】变形可得：
，
10．方程x2－2x＝3可以化为( )
A．(x－3)(x＋1)＝0 B．(x＋3)(x－1)＝0
C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＋4＝0
【答案】A
【详解】分析：先移项，再分解因式，即可得出选项．
详解：x2﹣2x=3，
x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
11．已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A．11 B．17 C．19 D．17或19
【答案】C
【详解】∵,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根
∴（x-6）(x-8)=0，
∴x1=6；x2=8，
∵2+6=8<9，
∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长=2+8+9=19．
12．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：取的中点I，过点B作交的延长线于点J，连接，如图，
∵点是的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
∵将菱形沿着折叠，使点落在点处，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，解得（舍去负值），
∴，
∴，，
延长交于点K，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
作于点L，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，
在中，由勾股定理得，解得，
∴．
二、填空题
13．已知 x(x+1)＝x+1，则x＝ ．
【答案】1或-1
【详解】方程可化为：
，
∴或，
∴或.
14．方程x(2x+1)=4(2x+1)的解为
【答案】-,4
【详解】试题解析：
15．两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程的两根，则这两个圆的位置关系是 ．
【答案】内切．
【详解】试题分析：由R和r分别是方程x2-9x+20=0的两个根，可求得R与r的值，又由两个圆的半径R、r，圆心距为1，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
试题解析：∵x2-9x+20=0，
∴（x-4）（x-5）=0，
解得：x1=4，x2=5，
∵R和r分别是方程x2-9x+20=0的两个根，
∴R-r=5-4=1，
∵两个圆的半径R、r，圆心距为1，
∴这两个圆的位置关系是：内切．
16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为 ．
【答案】，，
【分析】解法一：利用材料所给信息，将方程转化为：后，把写成可得：，把进行因式分解得，再进一步提公因式进行因式分解即可得到答案；
解法二：直接将进行分组进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：解法一：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
解法二：，
，
，
，
，
∴或或，
解得：或或；
17．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为 ．
【答案】15
【详解】解：x2﹣3x﹣10＝0，
（x﹣5）（x+2）＝0，
即x﹣5＝0或x+2＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣2．
因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，
所以等边三角形的边长为5．
所以该三角形的周长为：5×3＝15．
三、解答题
18．按指定的方法解方程：
(1)（公式法）
(2)（因式分解法）
【答案】(1)，；(2)，．
【详解】（1）解：，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（2）解：
，
或，
∴，．
19．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转90度，请在图中画出旋转后的图形
(1)请直接写出点关于坐标原点对称的点的坐标为 ；
(2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出的坐标；
(3)已知点P在y轴上，且是以为斜边的直角三角形，则P的坐标为 .
【答案】(1)(2)画图见解析，(3)或．
【详解】（1）解：点关于坐标原点对称的点的坐标为：．
（2）如图，即为所求作的三角形，
点．
（3）∵，，
∴，
设，
∴，，
∵为直角三角形，为斜边，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴或．
20．（1）解方程：
（2）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题：“一百马， 一百瓦，大马一拖三，小马三拖一， 大马小马各几何？”其大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马、小马各多少匹？
【答案】（1），；（2）有25匹大马，75匹小马
【详解】解：（1），
，
或，
所以，；
（2）解：设有匹大马，匹小马，
，
解得，，
答：有25匹大马，75匹小马．
21．如图，在平面直角坐标系中，的边，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
(1)求，的长．
(2)若轴上的有一个点满足，求证：．
【答案】(1)，(2)见解析
【详解】（1），
，
，，
则，；
（2）证明： ，
，即，
，
，，
，
又，
．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.2.3 因式分解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程x2=x的根是（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=－1
2．方程（x+1）＝x（x+1）的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
4．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：若，则；方程的根是；若直角三角形的两边长为和，则第三边的长为．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等腰三角形的两边长为一元二次方程x2﹣10x+9＝0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．11 B．19 C．11或19 D．不能确定
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．0或 D．0或1
7．一个等腰的底边为4，腰是方程的一个根．则这个等腰三角形的周长可能是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
8．若要使2x2－3x－5的值等于4－6x的值，则x应为( )
A．－或－3 B．或－3 C．－或3 D．或3
9．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
10．方程x2－2x＝3可以化为( )
A．(x－3)(x＋1)＝0 B．(x＋3)(x－1)＝0
C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＋4＝0
11．已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A．11 B．17 C．19 D．17或19
12．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 x(x+1)＝x+1，则x＝ ．
14．方程x(2x+1)=4(2x+1)的解为
15．两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程的两根，则这两个圆的位置关系是 ．
16．阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为 ．
17．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为 ．
三、解答题
18．按指定的方法解方程：
(1)（公式法）
(2)（因式分解法）
19．如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点逆时针旋转90度，请在图中画出旋转后的图形
(1)请直接写出点关于坐标原点对称的点的坐标为 ；
(2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出的坐标；
(3)已知点P在y轴上，且是以为斜边的直角三角形，则P的坐标为 .
20．（1）解方程：
（2）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题：“一百马， 一百瓦，大马一拖三，小马三拖一， 大马小马各几何？”其大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马、小马各多少匹？
21．如图，在平面直角坐标系中，的边，若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
(1)求，的长．
(2)若轴上的有一个点满足，求证：．
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