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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.3 一元二次方程根的判别式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
3．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．已知关于y的方程y2-3y=a没有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
8．关于x的方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
10．一元二次方程﹣6x+8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
11．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）．
A． B．0或 C．0或8 D．8或
12．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
二、填空题
13．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ．
14．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a＋1）x＋a﹣1一定不经过的象限是 ．
17．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知：．
(1)化简；
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
19．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
(1)构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
(2)问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
(3)拓展应用：
写出周长m的取值范围．
20．某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值．根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究．
… 2 3 4 5 6 …
… 6 4 a 2.4 2 …
(1)根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值．
(2)若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大．若存在，求出点D，若不存在，说明理由．
21．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果，，，求这个一元二次方程的根．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.3 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【详解】∵在方程x2-6x+9=0中，△=（-6）2-4×1×9=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
2．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
【答案】A
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
3．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
B、∵，
∴一元二次方程没有实数根；
C、∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
D、∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
4．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（ ）
A．17 B．1 C．－1 D．－17
【答案】A
【详解】解：一元二次方程x2-3x-2=0，
∵a=1，b=-3，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．
5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
即，
解得：且，
∴的取值范围为且．
6．已知关于y的方程y2-3y=a没有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：原方程整理得：y2-3y-a=0，
∵该方程没有实数根，
∴△=（-3）2-4（-a）＜0，
即9+4a＜0，
解得：a＜-，
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：该一元二次方程为，
，，，
，
该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
8．关于x的方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【详解】解：根据题意得，，
则关于x的方程有两个不相等实数根，
9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
10．一元二次方程﹣6x+8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】试题分析：本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根，此题比较简单.∵一元二次方程﹣6x+8=0， ∴△=﹣4ac=36﹣32=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
11．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）．
A． B．0或 C．0或8 D．8或
【答案】C
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，即，
解得或，
12．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【答案】C
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1，
则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
二、填空题
13．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】a＜且a≠0．
【详解】：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即4-16a＞0，
解得a＜ ，
∵ax2-2x+4=0是一元二次方程，
∴a≠0，
14．关于x的方程x2+3x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
【答案】.
【详解】解：根据题意得△＝32﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝，
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且/且
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且，
16．若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a＋1）x＋a﹣1一定不经过的象限是 ．
【答案】一象限
【详解】解：∵一元二次方程x2 2x a＝0无实数根，
∴4＋4a＜0，
解得a＜ 1，
故a＋1＜0，a 1＜0，
故一次函数y＝（a＋1）x＋a 1的图象一定不经过第一象限，
17．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】k＜4.5
【详解】∵关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×2 k＝36﹣8k＞0，
解得：k＜4.5．
三、解答题
18．已知：．
(1)化简；
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：或，
，
，
，
19．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
(1)构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
(2)问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
(3)拓展应用：
写出周长m的取值范围．
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，；
故答案为：，；
（2）解：由得，
故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标，
画出直线如下：
，得，
直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或(舍去)；
故答案为：，；
（3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，
，
解得或(舍去)，
20．某数学小组在“探究密闭容器内容器体积与气体密度关系”实验中，固定密闭容器内一定质量的二氧化碳，得到下表中体积与密度的几组对应值．根据学习函数的经验，他们对体积与密度之间的函数关系进行探究．
… 2 3 4 5 6 …
… 6 4 a 2.4 2 …
(1)根据表中数据，求密度关于体积的函数解析式并求出a的值．
(2)若直线与上述探究的函数图像交于点A，B（点A在点B的左边），在段的双曲线上是否存在点D，使得的面积最大．若存在，求出点D，若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【详解】（1）由表格可得，
∴，
当时；
（2）如图所示
解方程组，
解得，
，
设，其中，
过作轴交于，
设，
，
整理得，
∵有解，
∴
∴或，
∵，
，
∴，
∴当时取最大值，此时，
．
21．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
(3)如果，，，求这个一元二次方程的根．
【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析
(2)直角三角形；理由见解析
(3)，
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
是方程的根，
，
，
，即，
是等腰三角形；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：将，，代入方程得：，
解得：，
∴，．
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