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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.4 一元二次方程根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个根，则x1x2等于（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
2．方程的根的情况，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
3．若,是方程x －9x－10＝0的两个根，则＋的值是( )
A．9 B．－9 C．10 D．－10
4．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根
6．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
7．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
9．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
10．已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
11．是方程的两根，的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
12．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
二、填空题
13．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
14．方程的两根分别是和，则 ．
15．已知方程的两根分别是和，那么的值为 ．
16．已知一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别为α和β，则3α2+2α+3β＝ ．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
19．（1）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
①试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
②若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（2）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．
①求实数k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
20．阅读理解：
材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为.
令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，．
材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值．
解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”，
根据材料1得：，，
．
解决以下问题：
(1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，满足，，且，求．
21．已知：关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；
（3）在（2）的条件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个根，则x1x2等于（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【答案】A
【详解】解：由题意得.
．
2．方程的根的情况，下列结论中正确的是( )
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【详解】解：∵，
整理，得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，设为，，
∵，，
∴方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值．
3．若,是方程x －9x－10＝0的两个根，则＋的值是( )
A．9 B．－9 C．10 D．－10
【答案】A
【详解】∵,是方程x －9x－10＝0的两个根
∴
4．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：把代入方程得：，即，
由根与系数的关系得：，
5．已知方程，下列判断正确的是（ ）
A．方程两实数根的和等于3 B．方程两实数根的积等于
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程无实数根
【答案】D
【详解】解：∵一元二次方程为，
∴，，，
∴，
∴此方程无实数根，
6．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【答案】B
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
7．已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，
∴α+β=-=-2014，α β==1，
（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）
=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）
=α（β+2016+α） β（α+2016+β）
=αβ （2016-2014）（2016-2014）
=4．
8．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【答案】A
【详解】解：是一元二次方程的两个实数根，
，，，
9．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【详解】解：∵m，n是的两个实数根
∴，
∴
∴
=2
10．已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
【答案】A
【详解】∵a，b分别满足，且a≠b，
∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根．
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4．
∴．
11．是方程的两根，的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【答案】D
【详解】解：∵m，n是方程的两根，代入得：
∴
∴代入得：
∴
=
将代入得：
=
根据韦达定理：
12．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
【答案】C
【详解】解：原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程．
当|x-3|<0时，x无解；
当|x-3|=0时，只有1解；
当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解．
所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根．
①当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得=-2
②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0．
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．
二、填空题
13．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】3
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
则，是解本题的关键．
14．方程的两根分别是和，则 ．
【答案】
【详解】解： 方程的两根分别为和，
15．已知方程的两根分别是和，那么的值为 ．
【答案】10
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
16．已知一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别为α和β，则3α2+2α+3β＝ ．
【答案】2
【详解】解：∵一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别为α和β，
∴α+β＝，3α2﹣α﹣1＝0，
∴3α2＝α+1，
∴3α2+2α+3β＝（α+1）+2α+3β＝3（α+β）+1＝3×+1＝2．
17．若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：
①；
②若，则；
③关于x的方程的根为，；
④关于x的方程的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
【答案】②④
【详解】解：①化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴
解得：，故①错误，
∵关于的一元二次方程有实数根、，
当，则，
∴方程为，
解得：，，故②正确；
∵关于x的一元二次方程有实数根，，且，
而可化为：，
∴，，
∴或，故③错误；
∵化为一般形式为，
∵原方程有实数根、，且，
∴，，
∵
，
∴，
解得：或，故④正确，
三、解答题
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
19．（1）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
①试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
②若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
（2）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2．
①求实数k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
【答案】（1）①见解析；②见解析，A（0、1）、C（-3、1）；（2）①k＞；②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍，理由见解析
【详解】解：（1）如图所示：△AB1C1，即为所求；
②如图所示：A（0、1）、C（-3、1）；
（2）①∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根，
∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
即4k-3＞0，
解得：k＞；
②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
理由如下：
∵x1+x2=-（2k+1）、x1x2=k2+1，
∴由题意得：x1 x =2(x1+x2)，得：k2+1=2，
整理，得：k2+4k+3=0，
解得：k=-1或k=-3，
∵k＞，
∴k=-1或k=-3都不满足题意．
∴不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍．
20．阅读理解：
材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为.
令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，．
材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值．
解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”，
根据材料1得：，，
．
解决以下问题：
(1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，满足，，且，求．
【答案】(1)，(2)(3)
关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
（2），，且，
，可看作方程的两个不相等的“共生根”，
，，
，
；
（3），
，
，
，即，且，
，可看作方程的两个不相等的“共生根”，
，，
．
21．已知：关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；
（3）在（2）的条件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）m=1；
（3）4a2+12an+5n2+16n+8=24．
【详解】试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为x+3=0，解得x=﹣3；当m≠0时，计算判别式得△=（3m﹣1）2，由于（3m﹣1）2≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）先解方程mx2+（3m+1）x+3=0得到x1=﹣3，x2=，由于方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，易得m=1；
（3）当m=1时得到y=x2+4x+3，当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，则a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，变形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=﹣n﹣4，然后变形4a2+12an+5n2+16n+8得到（2a）2+2a 6n+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法计算．
试题解析：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3；
当m≠0时，
∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．
∵（3m﹣1）2≥0，
∴不论m为任何实数时总有两个实数根，
综上所述，不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；
（2）当m≠0时，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得 x1=﹣3，x2=，
∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1；
（3）∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，
∴y=x2+4x+3，
又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，
∴当x1=a时，y1=a2+4a+3，
当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，
∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，
化简得 2an+n2+4n=0，
即 n（2a+n+4）=0，
又∵n≠0，
∴2a=﹣n﹣4，
∴4a2+12an+5n2+16n+8
=（2a）2+2a 6n+5n2+16n+8
=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8
=24．
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