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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.5 一元二次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x（x>0），则（ ）
A． B． C． D．
2．疫情期间居民更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为100万，三月份新注册用户为169万，设每月的平均增长率为x，可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某超市一月份的营业额是200万元，已知第一季度的总营业额是1000万元．如果平均每月的增长率是x，则可列方程（ ）
A．200（1+x）2=1000
B．200+200（1+x）+200（1+2x）=1000
C．200（1+2x）=1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000
4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ）
A． B．
C． D．
5．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）
A． B． C． D．
6．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024
B．（20+x）（100﹣）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024
D．x（100﹣×2）＝2024
7．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
9．正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆的半径为（ ）
A． B．8 C． D．
10．为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为元，则第一次降价后的价格为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
11．如图，将矩形沿图中虚线(其中)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形.若，则的值为( )
A．3 B． C． D．
12．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为 ．
14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有94个小圆.
15．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为 ．
16．如图，邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m，若长方形ABCD的面积为，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度不超过3m）．
17．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2013年投资4.5亿元人民币建设廉租房，则每年市政府投资的增长率为 ．
三、解答题
18．．
19．习近平总书记来到陕西省柞水县小岭镇金米村实地考察，得知木耳喜获丰收．小木耳作出大产业，2019年王极东木耳一项净收入4万元，2021年净收入达到5.76万元，则两年的平均增长率是多少？
20．某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．
(1)当销售量为320千克时，红豆售价为___________元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？
(2)该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？
21．课本呈现：
直觉的误差
有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，，，
，
．
∵，
，
．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.5 一元二次方程的应用
一、单选题
1．某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x（x>0），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x（x>0），
则根据题意可列方程．
2．疫情期间居民更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为100万，三月份新注册用户为169万，设每月的平均增长率为x，可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设每月的平均增长率为x，
依题意，得：100（1+x）2＝169，
3．某超市一月份的营业额是200万元，已知第一季度的总营业额是1000万元．如果平均每月的增长率是x，则可列方程（ ）
A．200（1+x）2=1000
B．200+200（1+x）+200（1+2x）=1000
C．200（1+2x）=1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000
【答案】D
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200+200（1+x）+200（1+x）2=1000．
4．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】经过一次降息，是2.25%（1－x），经过两次降息，是2.25%（1－x）2，
∴ 可得：2.25%（1－x）2＝1.21%，
5．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设乙的直角边为x，
依题意得：，
整理可得：，
解得：，
∵，不合题意舍去，
，符合题意，
∴，
6．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024
B．（20+x）（100﹣）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024
D．x（100﹣×2）＝2024
【答案】D
【详解】解：由题意可得，
，
7．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
【答案】D
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有（1+x）人患了流感，
故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
故B正确，不符合题意；
依题意，得1+x+x（1+x）=121，
即（1+x）2=121，
故C正确，不符合题意；
解方程，得x1=10，x2=-12（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，
故D错误，符合题意；
轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
8．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，
所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，
9．正方形ABCD、正方形BEFG，点A、B、E在半圆O的直径上，点D、C、F在半圆O上，若EF＝4，则该半圆的半径为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接OD、OC、OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝AB，AB=2OB＝2OA，
设OB＝x，则OE＝x+4，CB＝2x，
在Rt△CBO中，OC2＝OB2+CB2＝x2+（2x）2＝5x2，
在Rt△OEF中有OF2＝OE2+EF2＝（x+4）2+42，
而OC＝OF，
∴（x+4）2+42＝5x2，
整理得x2﹣2x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴OC＝x＝4，
即该圆的半径为4．
10．为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为元，则第一次降价后的价格为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【详解】解：∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，
降价后的药品价格为元，
设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
解方程得：，
第一次降价的价格为元．
11．如图，将矩形沿图中虚线(其中)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形.若，则的值为( )
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，
y（x+y）=x2，
∵y=2，
∴2（x+2）=x2，
整理得，x2-2x-4=0，
解得x1=1+ ，x2=1-（舍去）．
12．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
二、填空题
13．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为 ．
【答案】（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，
根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．
14．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有94个小圆.
【答案】9.
【详解】解：设第n个图形有94个小圆，依题意有n2+n+4=94 即n2+n=90
（n+10）（n﹣9）=0
解得n1=9，n2=﹣10（不合题意舍去）．
故第9个图形有94个小圆．
15．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊2＝0的解为 ．
【答案】-3或1
【详解】试题分析：根据题意可得：－4=0，解得：．
16．如图，邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m，若长方形ABCD的面积为，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度不超过3m）．
【答案】2
【详解】解：设AB长为xm，则BC长为(5+1 2x) m．
依题意得x(5+1 2x)=4，
整理得，
解方程得，，
所以当x=1时，6 2x=4>3（舍去）；
当x=2时，6 2x=2．
∴AB的长为2m．
17．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2013年投资4.5亿元人民币建设廉租房，则每年市政府投资的增长率为 ．
【答案】
【详解】设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5，x2=-2.5（不合题意，应舍去）．
∴每年市政府投资的增长率为50%．
故答案为50%．
三、解答题
18．．
【答案】或
【详解】解：设，则原方程即，
∴，
∴或，
解得或，
∴或，
解得，或．
19．习近平总书记来到陕西省柞水县小岭镇金米村实地考察，得知木耳喜获丰收．小木耳作出大产业，2019年王极东木耳一项净收入4万元，2021年净收入达到5.76万元，则两年的平均增长率是多少？
【答案】20%
【详解】解：设两年的平均增长率是x，由题意可知：
4（1＋x）2＝5.76
x1＝0.2＝20% x2＝－2.2（舍去）
经检验x＝0.2＝20%符合题意．
答：两年的平均增长率为20%．
20．某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．
(1)当销售量为320千克时，红豆售价为___________元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？
(2)该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)13，350(2)11元
【详解】（1）解：根据题意得：当销售量为320千克时，红豆售价为元；
（千克）．
答：当销售量为320千克时，红豆售价为13元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是350千克；
（2）解：设红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：则红豆售价应定为每千克11元．
21．课本呈现：
直觉的误差
有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，，，
，
．
∵，
，
．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，
设的解析式为
∴
直线的解析式为，
当时，，
点不在直线上，
在中，，
在直角梯形中，，
、、三点共线不共线，
所以拼合的长方形内部有空隙；
（2）解：设剪开的矩形短边长为，长边长为，
如图，拼后的矩形面积为，
原正方形的面积为，
这四块图形恰能拼成一个矩形，
，
解得或（舍，
，
．
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