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湘教版九年级上册数学同步练习卷
3.3 相似图形
一、单选题
1．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm
【答案】C
【详解】解：由题意，可设较小多边形的周长为3x cm，则较大多边形的周长为5x cm，
则有：5x-3x=24，
解得，x=12，
∴5x=60，即较大多边形的周长为60 cm，
2．下列各组图形中一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【答案】A
【详解】解：A、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意．
3．在一比例尺为1：100 000的地图上，一块绿地面积为3cm2，则这块绿地实际面积为（ ）
A．300000cm2 B．300m2 C．900000m2 D．3×106m2
【答案】D
【详解】试题分析：地块在地图上的图形，与实际图形是相似形，根据面积的比等于相似比的平方即可求解．
解：设这块绿地的实际面积是xcm2．
根据面积的比等于相似比的平方．故3：x=（1：100 000）2=（1：105）2=1：1010．
则x=3×1010cm2=3×106m2．
4．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（ ）
A．①③ B．①② C．①④ D．②③
【答案】C
【详解】解：①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；
②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；
③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；
④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，DE=3，则BC的长等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【详解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴ ,
∵DB=2AD，DE=3，
∴ ,
代入比例式得： ,
解得：BC=9，
6．下列空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形图案，每个图案花边的宽度都相等．则其中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合题意；
B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合题意；
C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合题意；
D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合题意；
7．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得，
设AE=x，则AD=BC=2x，
又AB=1，
∴，
可得：．
∵矩形的长不能是负数，
解得：，
∴BC=2x=2×，
∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=．
8．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，要使剩下的矩形与原来的矩形相似，
则
15（20-2y）=20(15-2x)
3（20-2y）=4(15-2x)
60-6y=60-8x
-6y=-8x
3y=4x
即．
9．如图,点B在圆锥母线VA上,且VB=VA，过点B作平行与底面的平面截得一个小圆锥的侧面积为S1,原圆锥的侧面积为S,则下列判断中正确的是( )
A．S1=S B．S1=S C．S1=S D．S1=S
【答案】D
【详解】两个圆锥的展开图都是扇形，这两个扇形一定相似，
面积的比等于半径的比的平方，
半径的比是VB：VA= ，
因而面积的比是1：9，
因而S1=S，
10．将矩形沿两条较长边的中点对折得到矩形，若矩形矩形，且，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】∵矩形ADFE∽矩形ABCD，∴,即，解得AD＝，故选D.
11．如图，ΔABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F, 则线段AF的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】过点B作BG∥AC,BH∥EF,
则四边形BHFG是平行四边形
∴BG=FH=CF=(3-AF)
∴△ADF∽△BDG,
∴
∴
解得
12．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的值为定值 ．
上述结论中正确的个数为 （ ） 个．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作 ，连接 ．
设运动时间为 ．
四边形 是矩形，，，
，
，，
，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上所述，①②④正确．
二、填空题
13．两个相似多边形的一组对应边分别为2 cm和3 cm．如果它们的面积和为，那么较大多边形的面积为 ．
【答案】54
【详解】解：设较小多边形的面积为xcm2，则较大多边形的面积为：（78-x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为2cm和3cm，
∴x：（78-x）=22：32，
解得x=24．
较大多边形的面积为=78-24=54
14．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵五边形与五边形相似且相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，经检验符合题意；
15．如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ．
【答案】
【详解】解：∵点，，，分别是，，，的中点，
∴，，
∴，，
∴菱形菱形，
∴菱形与菱形的面积比为：，
∴菱形的面积为，
同理：菱形的面积为，
依次类推，可知：菱形的面积为．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为 ．
【答案】
【详解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，
∴AC=，
∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似，
∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为，
∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为，
∵矩形ABCD的面积为1×2=2，
∴矩形AB1C1C的面积为2×=，
同理：矩形AB2C2C1的面积为×==，
矩形AB3C3C2的面积为×==，
……
∴矩形ABnCnCn-1面积为，
∴矩形AB4C4C3的面积为=，
17．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，.若，则 .
【答案】
【详解】解：
∴
18．已知、、均为正数，且．下列各点中，在正比例函数上的点是 （填序号） ①②③④
【答案】①
【详解】∵a、b、c均为正数，
∴a+b+c≠0，
∴
∴正比例函数解析式为，
当x=1时, ,则点在正比例函数图象上,点(1,2)、、(1, 1)都不在正比例函数图象上.
19．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 .
【答案】
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,
20．如图，已知矩形ABCD，AB：BC＝1：2，P为线段AB上的一点，以BP为边作矩形EFBP，使点F在线段CB的延长线上，矩形ABCD∽矩形EFBP，设EF＝a，AB＝b，当EP平分∠AEC时，则＝ ．
【答案】．
【详解】解：如图，AB与CE交于点G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴∠AEP=∠GEP，∠APE=∠GPE=90°
∴∠EAP=∠EGP
∴EA=EG
∴AP＝PG＝b﹣a，BG＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，
∵PE∥CF，
∴ ，
∵矩形ABCD∽矩形EFBP，
∴，
∴，整理得：，
∵a＞0，b＞0，
∴，
三、解答题
21．如图所示，污水处理公司为某楼房建一座周长为30米的三级污水处理池，平面图为矩形ABCD，米，中间两条隔墙分别为EF、GH，池墙的厚度不考虑．
(1)用含x的代数式表示外围墙AD的长度；
(2)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的矩形，且它们均与矩形ABCD相似，求此时AB的长；
(3)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的正方形，已知池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价每米300元，池底建造的单价为每平方米100元，试计算此项工程的总造价.（结果精确到1元）．
【答案】(1)AD的长度为米；
(2)AB的长为米；
(3)此项工程的总造价约为18469元．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
∴，
答：AD的长度为米；
（2）解：由题意可知，，即，且，
∴
解得：，(不合题意，舍去)
∴，
∴AB的长为米；
（3）解：由题意知，则有，
解得：，
总造价：，
当时，原式（元），
答：此项工程的总造价约为18469元．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷 3.3 相似图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm
2．下列各组图形中一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
3．在一比例尺为1：100 000的地图上，一块绿地面积为3cm2，则这块绿地实际面积为（ ）
A．300000cm2 B．300m2 C．900000m2 D．3×106m2
4．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（ ）
A．①③ B．①② C．①④ D．②③
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，DE=3，则BC的长等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
6．下列空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形图案，每个图案花边的宽度都相等．则其中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
9．如图,点B在圆锥母线VA上,且VB=VA，过点B作平行与底面的平面截得一个小圆锥的侧面积为S1,原圆锥的侧面积为S,则下列判断中正确的是( )
A．S1=S B．S1=S C．S1=S D．S1=S
10．将矩形沿两条较长边的中点对折得到矩形，若矩形矩形，且，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
11．如图，ΔABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F, 则线段AF的长为（ ）
A． B． C． D．1
12．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的值为定值 ．
上述结论中正确的个数为 （ ） 个．
A． B． C． D．
二、填空题
13．两个相似多边形的一组对应边分别为2 cm和3 cm．如果它们的面积和为，那么较大多边形的面积为 ．
14．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
15．如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为 ．
17．如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，.若，则 .
18．已知、、均为正数，且．下列各点中，在正比例函数上的点是 （填序号） ①②③④
19．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 .
20．如图，已知矩形ABCD，AB：BC＝1：2，P为线段AB上的一点，以BP为边作矩形EFBP，使点F在线段CB的延长线上，矩形ABCD∽矩形EFBP，设EF＝a，AB＝b，当EP平分∠AEC时，则＝ ．
三、解答题
21．如图所示，污水处理公司为某楼房建一座周长为30米的三级污水处理池，平面图为矩形ABCD，米，中间两条隔墙分别为EF、GH，池墙的厚度不考虑．
(1)用含x的代数式表示外围墙AD的长度；
(2)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的矩形，且它们均与矩形ABCD相似，求此时AB的长；
(3)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的正方形，已知池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价每米300元，池底建造的单价为每平方米100元，试计算此项工程的总造价.（结果精确到1元）．
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