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湘教版九年级上册数学同步练习卷
3.4.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：①；②；③，使与一定相似（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】A
【详解】①∵ ,
,故正确；
②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以与不一定相似，故错误；
③∵，
,故正确；
所以正确的是：①③
2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
3．下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）
A．有一个角是120°的两个等腰三角形 B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
【答案】B
【详解】解：A、有一个角是120°的两个等腰三角形，的角只能是顶角，根据两腰对应成比例，夹角相等，可以得出两个三角形一定相似，不符合题意；
B、有一个角是35°的两个等腰三角形，当一个是顶角，一个是底角时，两个三角形不相似，符合题意；
C、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
4．如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，可判定，故选项不符合题意；
、若，且，无法判定，故选项符合题意；
5．下列命题中，是假命题的是（ ）．
A．两个等边三角形相似 B．有一个角为20°的两个直角三角形相似
C．两个等腰直角三角形相似 D．两个直角三角形相似
【答案】D
【详解】A、两个等边三角形相似，此项是真命题，不符题意；
B、有一个角为的两个直角三角形相似，此项是真命题，不符题意；
C、两个等腰直角三角形相似，此项是真命题，不符题意；
D、两个直角三角形只有一组角一定相等，则两个直角三角形不一定相似，此项是假命题，符合题意；
6．如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A． ，，
根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故A项不符合题意；
B．，，
根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故B项不符合题意；
C．，，
根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以得出，故C项不符合题意；
D．由，，不能判定，故D选项符合题意．
7．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有( )
A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
【答案】D
【详解】解：设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，
在Rt△AED中，DE＝＝2a，
在Rt△BEF中，EF＝＝a，
在Rt△DFC中，DF＝＝5a，
,
,
∴△AED∽△BFE，
同理可得△AED∽△EFD．
8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
9．如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图得：
∴当或或时，；
当时，．
A选项中不是成比例的两边的夹角．
10．如图，在中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】∵截得的三角形与相似，
∴过点P作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形均满足题意．
∴过点P作符合题意的直线共有三条，这样的点Q有3个．
11．如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是（ ）
A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEA
C．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA
【答案】C
【详解】试题解析：A.∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，故A正确；
B∵∠2=∠3，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△ADE∽△BEA；故B正确；
C.∵∠1=∠2，∠BEA≠∠C，∴△ACE与△BEA不相似；故C错误；
D.∵∠1=∠3，∠C=∠C，∴△ACE∽△BCA；故D正确.
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长BA，CD交于点F．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°．在△BEF和△BEC中，∵∠EBF=∠EBC，BE=BE，∠BEF=∠BEC，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，∵=2，∴，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BCF，∴，∴S△ADF=×4=，∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=．故选A．
二、填空题
13．如图，有三个三角形，其中相似的是 .
【答案】①与②
【详解】第一个图：第三个角为: 180°-68°-61°=51°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第二个图：第三个角为: 180°-68°-51°=61°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第三个图：第三个角为: 180°-68°-49°=63°
此三角形三个角分别为：49°，63°，68°
根据两角对应相等，两个三角形相似.期中相似的是:①和②.
14．如图，请补充一个条件 ：，使△ACB∽△ADE．
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或（任选其中一个就可以）
【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是：
∵∠A是公共角，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C．
②补充∠AED=∠B，理由是：
∵A是公共角，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB．
③补充，理由是：
∵∠A是公共角，，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，△ABC中，点D在边AB上，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件是 ．（一种即可）
【答案】∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．
【详解】解：∵∠CAD =∠BAC，
根据两对角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，
∵∠CAD =∠BAC，∠ACD =∠B；
∴△ACD∽△ABC．
∵∠CAD =∠BAC，∠ADC =∠ACB；
∴△ACD∽△ABC．
根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可添加，
∵，∠CAD =∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或时，△ACD∽△ABC．
16．ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF 与△ABC
【答案】相似
【详解】∵，，
∴∠C=180°-65°-42°=73°.
∵，，
∴∠A=∠D, ∠C=∠F,
∴△DEF 与△ABC相似.
故答案为相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
17．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且，则图中有 对相似三角形．
【答案】3
【详解】因为梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，
所以∠A＝∠D,
又，
所以 ,
所以△ABP∽△DPC,
所以∠ABP＝∠DPC, ∠APB＝∠DCP,
又AD//BC，
所以∠APB＝∠PBC, ∠DPC＝∠PCB,
所以△ABP∽△PCB,△PCB∽△DPC,
所以共有3对相似三角形.
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC ：S△BCD 等于
【答案】1:4:6
【详解】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=BC，
∵DE∥BC，
∴△EDF∽△BFC，相似比为，
∴，
∴S△EDF：S△BFC：S△BCD=1：4：6；
19．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为 ．
【答案】P3．
【详解】试题分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．
解：∵∠BAC=∠PED，
而=，
∴=时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
∴EP=6，
∴点P落在P3处．
20．如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，沿以的速度向点移动，若点、分别从点、同时出发，设运间为，当 时，．
【答案】4.8s
【详解】因为AB∥PQ时,△CPQ∽△CBA，
所以,，
即，解得t=4.8.
三、解答题
21．（1）计算：．
（2）如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为，求证：．
【答案】（1）3；（2）见解析
【详解】解：（1）
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查算术平方根、负整数指数幂，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
22．（1）计算：
（2）如图，正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）原式；
（2）证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，
∴．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】(1) t=2秒；(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)；(3)①t=1.2，②t=3.
【详解】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，
当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.
(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的
距离之和保持不变)
(3)分两种情况:
①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2s，
②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3s.
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湘教版九年级上册数学同步练习卷 3.4.1 相似三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：①；②；③，使与一定相似（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组中两个图形不一定相似的是（ ）
A．有一个角是120°的两个等腰三角形 B．有一个角是35°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形 D．两个等边三角形
4．如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，是假命题的是（ ）．
A．两个等边三角形相似 B．有一个角为20°的两个直角三角形相似
C．两个等腰直角三角形相似 D．两个直角三角形相似
6．如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有( )
A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
9．如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是（ ）
A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEA
C．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，有三个三角形，其中相似的是 .
14．如图，请补充一个条件 ：，使△ACB∽△ADE．
15．如图，△ABC中，点D在边AB上，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件是 ．（一种即可）
16．ΔABC与△DEF中，，，，，，，，，，，则△DEF 与△ABC
17．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且，则图中有 对相似三角形．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC ：S△BCD 等于
19．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为 ．
20．如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，沿以的速度向点移动，若点、分别从点、同时出发，设运间为，当 时，．
三、解答题
21．（1）计算：．
（2）如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为，求证：．
22．（1）计算：
（2）如图，正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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