4.1.2 垂线课件（28张PPT）2024-2025学年华师大版七年级数学上册

(共28张PPT)
第四章 相交线和平行线
4.1.2 垂线
华师版 七年级 上册
重点
理解垂线的有关概念、性质、及画法
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离
掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
难点
知道垂线段和点到直线的距离概念，并会应用其解决问题
学习目标
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
情景引入
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
a
b
）
α
垂线的概念
问题：
（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变
a与b所成的角也随之发生改变
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
问题：
（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a
b
）
α
a与b垂直
定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直.
记作：AB⊥CD或m⊥l
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2）
垂直的定义及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
记作：AB⊥CD于点O
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的判定
符号语言：
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
因为 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂线的性质
如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______.
若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______.
如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
牛刀小试
4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？
经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？
垂线的画法及基本事实
试一试
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？
O
如图，已知直线 AB,作AB的垂线.
无数条
1.落
2.靠
3.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线.
根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
特殊的直线
如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线）
垂直平分线又可称为中垂线
如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上．
（1）画直线 DE⊥OB;
（2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F．
解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线.
（2）如图②所示，直线DF为所求作的直线.
牛刀小试
探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
简述：垂线段最短.
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
规定：
作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
牛刀小试
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．
做一做
1.如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： 【教材P175 练习 第1题】
（1）点 B 在直线______________上，点 D 在直线______外；
（2）直线_____与直线_____相交于点 A，点 D 是直线_____与直线_____的交点，也是直线_____与直线______的交点，又是直线_____与直线_____的交点；
（3）直线_____垂直于直线______，垂足为点_____；
（4）过点 D 有且只有_____条直线与直线 AC 垂直.
AC (或BD)
AC
AD
AC
AD
BD
AD
CD
BD
CD
BD
AC
B
一
随堂练习
如图所示的各个三角形中，分别过点 C 画出直线 AB 的垂线，并量出三角形顶点 C 到直线 AB 的距离.（精确到 1mm） 【教材P176 练习 第2题】
14 mm
23 mm
17 mm
(D)
3.在如图所示的方格图中，按下述要求画图并回答问题【教材P176 练习 第3题】
（1）过点C画线段AB的垂线，垂足为点D；
（2）量出点C到线段AB所在直线的距离（精确到1mm）
（3）画出线段AB的垂直平分线
C
A
B
D
4.如图, AC⊥BC,∠C=90°线段AC、BC、CD中最短的是( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业