1.2.1 空间中的点、直线与空间向量——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.过，两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C.-1 D.1
2.已知点，，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1
4.若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
5.两条直线，的方向向量分别为，，则这两条直线( )
A.平行 B.垂直 C.异面 D.相交或异面
6.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，PQ与直线和AC都垂直，则直线PQ与的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交
8.如图，在直三棱柱中，，且，D，E分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
9.（多选）若，是直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知m，n为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则( )
A.直线AB与m所成角的最小值为
B.直线AB与m所成角的最大值为
C.当直线AB与m的夹角为时，AB与n的夹角为
D.当直线AB与m的夹角为时，AB与n的夹角为
11.已知异面直线，的方向向量分别为，，则，的夹角大小为__________.
12.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为__________.
13.已知两异面直线和的方向向量分别为和，若，则与所成角的大小为__________.
14.已知直线l的一个方向向量为，则一个以为起点，且垂直于直线l的单位向量n的终点坐标为___________.
15.如图，在直三棱柱中，，，，.
（1）求证：.
（2）在线段AB上是否存在点D，使得？
答案以及解析
1.答案：C
解析：依题意，得，解得.故选C.
2.答案：C
解析：设，为线段AB上一点且，，即，，，.
3.答案：A
解析：由题意可得，所以，则，所以解得故选A.
4.答案：A
解析：，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意，故选A.
5.答案：D
解析：因为，，所以，故直线，不垂直.
又，故直线，不平行，所以两条直线相交或异面.故选D.
6.答案：B
解析：两条异面直线的方向向量分别是，，，
，，
又两条异面直线所成的角为，则，则.故选B.
7.答案：B
解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，.
设，则取.
，，.
8.答案：A
解析：如图所示，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，，
，
则异面直线与所成角的正弦值是.故选A.
9.答案：AC
解析：由题意得，，结合选项知A，C正确，B，D错误.
10.答案：ACD
解析：由题意知，m，n，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.
不妨设图中所示正方体的棱长为1，故，，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.以C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，直线m的单位方向向量，，直线n的单位方向向量，.设B点在运动过程中的坐标为，其中为以CD为始边，点C为旋转中心逆时针旋转的角，则，，，设与m所成的角为，则，则，，A正确，B错误.设与n所成的角为，则，，当与m的夹角为，
即时，.
，，，，，此时直线与n的夹角为，故C正确.
当与m的夹角为，即时，，，，，，，此时直线与n的夹角为，故D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：因为，故，所以，故，的夹角大小为.
12.答案：2
解析：因为，所以，则，解得.
13.答案：
解析：由题可知，，由异面直线夹角的范围可得与所成角的大小为.
14.答案：(答案不唯一)
解析：设终点坐标为，则单位向量，且满足即可取，，，此时终点坐标为.(答案不唯一)
15.答案：（1）证明见解析
（2）存在
解析：（1）证明：在直三棱柱中，，，，
，，，两两垂直，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系（图略），
则，，，，
，.
，，
.
（2）假设在线段AB上存在点D，使得.
设，其中，则，于是.
，且，
，解得.
在线段AB上存在点D，使得，且这时点D与点B重合.