1.2.3 直线与平面的夹角——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.3 直线与平面的夹角——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 698.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:05:24 | ||
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文档简介
1.2.3 直线与平面的夹角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
2.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成的角是，则l与m所成的角是( )
A. B. C. D.
3.正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是( )
A. B. C. D.
4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.若，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( )
A. B. C.或 D.或
6.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
9.（多选）在正方体中，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.与平面所成的角为
D.与平面ABCD所成的角为
10.（多选）已知正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.直线BE与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角为
D.直线与平面BFD所成角的正弦值为
11.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量.若，则l与所成角的大小为__________.
12.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为________.
13.已知正方体的棱长为4，M在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
14.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_________.
15.如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设直线l与平面所成的角为，则，所以.故选A.
2.答案：C
解析：由题意，，.由，得，.故选C.
3.答案：B
解析：设正三棱锥的底面正三角形BCD的中心为O，棱长为a，则就是侧棱AC与底面BCD所成的角，计算得.
4.答案：A
解析：由题意，设直线l与平面所成的角为，则.由，得.故选A.
5.答案：A
解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为.
6.答案：D
解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，
则得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.故选D.
7.答案：B
解析：如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则即取，则，，所以.
设AM与平面所成角为，向量与n所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B.
8.答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），则，所以.
9.答案：ABD
解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确.
对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②.
底面，平面ABCD，.，，平面，平面.
与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误.
对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，，，，，，则，，故，则，故直线BE与所成角为，A正确；
，，，又，故，即直线与所成角为，B正确；
，，，设平面的法向量为，则令，则，
故，因为直线与平面所成角的范围为，所以直线与平面所成角为，C正确；
，，设平面BFD的法向量为，
则令，
则，故，故直线与平面BFD所成角的正弦值为，D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：设l与所成角为，则，.
12.答案：
解析：以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则
取，则，，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
13.答案：
解析：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则令，得，设直线与平面所成的角为，则.
14.答案：
解析：设AC与BD的交点为点O，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可知，，，，，故，，，，.
设平面PBC的法向量为，又，，则有即
令，可得平面PBC的一个法向量为.设与平面PBC的法向量n的夹角为，则，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于，，所以.
又，，平面PAD，
所以平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，所以.
取CD的中点E，连接BE，如图.
因为底面ABCD是直角梯形，且，，
故四边形ABED为矩形，且且，
所以，又，，
所以在中，，即，
又，平面ABCD，所以平面ABCD.
（2）因为平面，，所以以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面BPC的法向量为，
则取，可得，
所以.
所以直线BD与平面BPC所成角的正弦值为.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
2.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成的角是，则l与m所成的角是( )
A. B. C. D.
3.正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是( )
A. B. C. D.
4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n.若，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( )
A. B. C.或 D.或
6.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
9.（多选）在正方体中，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.与平面所成的角为
D.与平面ABCD所成的角为
10.（多选）已知正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.直线BE与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角为
D.直线与平面BFD所成角的正弦值为
11.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量.若，则l与所成角的大小为__________.
12.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为________.
13.已知正方体的棱长为4，M在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
14.某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷.将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）.该四棱锥底面ABCD是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为_________.
15.如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设直线l与平面所成的角为，则，所以.故选A.
2.答案：C
解析：由题意，，.由，得，.故选C.
3.答案：B
解析：设正三棱锥的底面正三角形BCD的中心为O，棱长为a，则就是侧棱AC与底面BCD所成的角，计算得.
4.答案：A
解析：由题意，设直线l与平面所成的角为，则.由，得.故选A.
5.答案：A
解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为.
6.答案：D
解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，
则得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则.故选D.
7.答案：B
解析：如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则即取，则，，所以.
设AM与平面所成角为，向量与n所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B.
8.答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），则，所以.
9.答案：ABD
解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确.
对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②.
底面，平面ABCD，.，，平面，平面.
与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误.
对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，，，，，，则，，故，则，故直线BE与所成角为，A正确；
，，，又，故，即直线与所成角为，B正确；
，，，设平面的法向量为，则令，则，
故，因为直线与平面所成角的范围为，所以直线与平面所成角为，C正确；
，，设平面BFD的法向量为，
则令，
则，故，故直线与平面BFD所成角的正弦值为，D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：设l与所成角为，则，.
12.答案：
解析：以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则
取，则，，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
13.答案：
解析：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则令，得，设直线与平面所成的角为，则.
14.答案：
解析：设AC与BD的交点为点O，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可知，，，，，故，，，，.
设平面PBC的法向量为，又，，则有即
令，可得平面PBC的一个法向量为.设与平面PBC的法向量n的夹角为，则，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于，，所以.
又，，平面PAD，
所以平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，所以.
取CD的中点E，连接BE，如图.
因为底面ABCD是直角梯形，且，，
故四边形ABED为矩形，且且，
所以，又，，
所以在中，，即，
又，平面ABCD，所以平面ABCD.
（2）因为平面，，所以以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面BPC的法向量为，
则取，可得，
所以.
所以直线BD与平面BPC所成角的正弦值为.