1.2.4 二面角——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

1.2.4 二面角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为( )
A. B. C.或 D.
2.已知向量，分别是平面与的法向量，若，则平面与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.如图，在菱形ABCD中，，沿对角线AC折起，使平面平面ACD，则二面角的平面角的余弦值为( ).
A. B. C. D.2
4.如图，在长方体中，，P为的中点，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
5.已知和均为边长为a的等边三角形，且，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知直线l的一个方向向量为v，平面的一个法向量为n，平面的一个法向量为m，则下列说法正确的是( )
①若，则l与所成的角为；
②若l与所成角为，则；
③若，则平面与所成的锐二面角为；
④若平面与的夹角为，则.
A.③ B.①③ C.②④ D.①③④
7.如图所示，已知P为菱形ABCD所在平面外一点，且平面，，F为PC的中点，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在棱长为2的正方体中，下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成的角为
B.异面直线与所成的角为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.二面角的大小为
10.（多选）如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则下列说法正确的是( )
A.与是异面直线
B.直线与EF所成角的大小为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.二面角的余弦值为
11.设平面ABC的一个法向量为，平面ABD的一个法向量为，则二面角的大小为__________.
12.四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为__________.
13.如图，在三棱柱中，，，，，，点D，E分别在棱，上，且，，则二面角的正切值为__________.
14.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为____________.
15.已知四棱锥的底面ABCD为菱形，且，.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意可得，所以两平面所成二面角为或.故选C.
2.答案：C
解析：易知，所以平面与所成的夹角为.
3.答案：A
解析：取AC的中点O，以OC，OD，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面ABC的法向量，平面ACD的法向量，所以.
4.答案：B
解析：在长方体中，平面，平面，平面，，且，即为二面角的平面角.又，易得.故选B.
5.答案：C
解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE.
由题意得，，且，是二面角的平面角.
又，，即二面角的大小为.
6.答案：A
解析：若，则l与所成的角为，①错误；
若l与所成角为，则或，②错误；
若，则平面与所成的锐二面角为，③正确；
若平面与所成的角为，则或，④错误.
故选A.
7.答案：D
解析：如图，设BD与AC交于点O，连接OF.四边形ABCD为菱形，为AC的中点，.为PC的中点，.平面ABCD，平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设，则，
，，，，，结合图形可知，为平面BDF的一个法向量.由，，可求得平面BCF的一个法向量.
，又二面角为锐二面角，，.
8.答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
9.答案：ACD
解析：解法一：如图所示，
对于A，，与所成的向即为与所成的角，为，故A正确；
对于B，，与所成的角即为与所成的角，为或其补角，
，，，
，，故B错误；
对于C，平面，直线与平面所成的角为，
平面，，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为，
故C正确；
对于D，平面，，平面，
，，二面角的平面角为，故二面角的大小为，故D正确.
解法二；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，.
对于A，，，则，且，，与所成的角为，故A正确；
对于B，，，则，，故B错误；
对于C，，，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，故C正确；
对于D，易知平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，，二面角的大小为，故D正确.故选ACD.
10.答案：AD
解析：对于A，因为点平面，点平面，平面，所以与是异面直线，故A正确.
对于B，连接BD，由E，F分别是BC，CD的中点知，，又，所以，即或其补角为与EF所成的角，在等边三角形中，，故B错误.
对于C，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则，，，，，
由题意可知，平面的法向量可取，，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为，故C错误.
对于D，由C中坐标系可得，，，，所以，，，
设平面的法向量为，则令，得，
设平面的法向量为，则令，可得，则，又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选AD.
11.答案：或
解析：由二面角定义得，或，
即二面角的大小为或.
12.答案：或
解析：在平面ABCD上的射影为，易得.设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为.
当M，P在平面ABCD同侧时，，.
当M，P在平面ABCD异侧时，，.
综上，平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或.
13.答案：
解析：因为，，，且，平面，所以平面，所以向量为平面的一个法向量，分别以，所在直线为x轴，y轴，垂直于平面且过点C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，，
设平面的一个法向量为，则
令，则，，所以.
设二面角的大小为，易知为锐角，所以，
因此，
所以.
14.答案：
解析：设正四棱锥底面的边长为a，斜高为，连接AC，BD交于点O，连接OP.则，则，.以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
，.
设平面PBC的法向量为，
则即
令，则，显然平面ABCD的一个法向量为，
，
侧面与底面的夹角的余弦值为，又夹角的范围为，所求夹角的大小为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取BC中点E，连接BD，DE，PE，如图，
因为底面ABCD为菱形，且，
所以为等边三角形，故，
因为，，所以.
又因为，平面PDE，所以平面PDE，
又平面PDE，所以.
又因为E是BC的中点，所以.
（2）因为，所以，所以以D为坐标原点，DA，DE所在直线分别为x轴、y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
过P作于点F，又平面PDE，
则，，平面BCD，
所以平面BCD，
由得，，，
所以，，
因为为正四面体，所以F为等边三角形BCD的中心，
所以，，所以.
设平面PAB的法向量为，
则即
令，则，，则
设平面PBC的法向量为，
则即
令，可得平面PBC的一个法向量为，
则.
又二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.