1.2.5 空间中的距离——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.5 空间中的距离——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 832.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:06:25 | ||
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文档简介
1.2.5 空间中的距离
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知过坐标原点O的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是( )
A.2 B. C. D.
2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线CE的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在平行四边形ABCD中，，，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成角，则B，D间的距离等于( )
A. B.1 C.或2 D.1或
6.在空间直角坐标系中，，，，，那么四面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，则点B到直线的距离为( )
A. B. C. D.1
8.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在长方体中，，动点P满足，，，，则下列结论正确的有( )
A.当时，
B.当时，平面
C.当，时，点P到直线的距离为
D.当时，点P为的重心
10.（多选）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.直线平面 B.直线与平面所成的角为
C.直线OE到平面的距离为 D.点P到直线AD的距离为
11.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为___________.
12.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，P，Q分别是异面直线和BD上的任意一点，则P，Q间距离的最小值为__________.
13.已知正四棱柱中，，，点E为的中点，则直线到平面的距离为___________.
14.正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为___________.
15.已知正方体的棱长为2，M为棱上一点.
（1）求证：.
（2）若M为中点，求点到平面BDM的距离.
（3）是否存在点M使得平面BDM？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，所以点到直线l的距离.故点到直线l的距离是.故选D.
2.答案：B
解析：依题意可得，，，设平面ABC的法向量为，
则令，则可得，，即，所以点O到平面ABC的距离.故选B.
3.答案：D
解析：设平面ABCD的法向量为，则即令，可得，，则.
点P到平面ABCD的距离为，即为该四棱锥的高.故选D.
4.答案：C
解析：建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，所以在上的投影数量为，所以点到直线EC的距离.故选C.
5.答案：C
解析：，，同理，.
又与CD成角，或.
，，或，或故选C.
6.答案：B
解析：由题可得，，，设平面的一个法向量为，则取，得，，故，则点D到平面的距离，
，
，
，
四面体的体积.
故选B.
7.答案：B
解析：过点B作，垂足为E（图略）.设点E的坐标为，由题意，，，，则，，.
因为所以
解得所以，
所以点B到直线的距离.故选B.
8.答案：A
解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面BED的法向量为，
则令，得，
，且，
平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.故选A.
9.答案：BCD
解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，.
对于选项A：设，则，
因为，所以，不为0，
所以不成立，故A错误；
对于选项B：由，可知，平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又，平面，
所以平面平面，当时，A，，，P四点共面，即平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：当，时，，，可得，又，所以点P到直线的距离为，故C正确；
对于选项D：当时，，且，可知，
由，，
可知，的重心为，所以点P为的重心，故D正确.
故选BCD.
10.答案：ABD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，.
对于A，，，，所以，，所以，，又，平面，所以平面，A正确；对于B，易知为平面的一个法向量，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为，B正确；对于C，由题可得平面，故直线OE到平面的距离为，故C错误；对于D，，，所以，所以点P到直线AD的距离为，D正确.故选ABD.
11.答案：
解析：由题知，，，
，又，点P到直线l的距离为.
12.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.
设且即令，则，，所以，所以异面直线和BD的距离，所以P，Q间距离的最小值为.
13.答案：1
解析：如图，连接，，且与相交于点O，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，易知平面.
设平面的一个法向量是，
则令，则，，所以.又因为，
所以点A到平面的距离为，
故直线到平面的距离为1.
14.答案：
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
，，，，
，，，.
又，，平面平面.
平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面EFBD的距离.
设平面AMN的法向量为，
则解得
取，则，，所以.
，平面AMN与平面EFBD的距离.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
解析：（1）证明：由题意可知，可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，所以，，，
又M为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）连接，由（1）及（1）中的空间直角坐标系可知，，，
因为M为中点，所以，
所以，，，
设平面BDM的法向量为，则即
令，则.所以，
所以点到平面BDM的距离.
（3）不存在点M使得平面BDM，理由如下：
由（1）（2）及（1）中的空间直角坐标系可知，，，，
所以，，，
设平面BDM的法向量为，则
令，则.所以，
若平面BDM，则，
所以，解得，故不存在点M使得平面BDM.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知过坐标原点O的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是( )
A.2 B. C. D.
2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，则点O到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线CE的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在平行四边形ABCD中，，，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成角，则B，D间的距离等于( )
A. B.1 C.或2 D.1或
6.在空间直角坐标系中，，，，，那么四面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，则点B到直线的距离为( )
A. B. C. D.1
8.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( )
A. B. C. D.
9.（多选）在长方体中，，动点P满足，，，，则下列结论正确的有( )
A.当时，
B.当时，平面
C.当，时，点P到直线的距离为
D.当时，点P为的重心
10.（多选）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.直线平面 B.直线与平面所成的角为
C.直线OE到平面的距离为 D.点P到直线AD的距离为
11.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为___________.
12.正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，P，Q分别是异面直线和BD上的任意一点，则P，Q间距离的最小值为__________.
13.已知正四棱柱中，，，点E为的中点，则直线到平面的距离为___________.
14.正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为___________.
15.已知正方体的棱长为2，M为棱上一点.
（1）求证：.
（2）若M为中点，求点到平面BDM的距离.
（3）是否存在点M使得平面BDM？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，所以点到直线l的距离.故点到直线l的距离是.故选D.
2.答案：B
解析：依题意可得，，，设平面ABC的法向量为，
则令，则可得，，即，所以点O到平面ABC的距离.故选B.
3.答案：D
解析：设平面ABCD的法向量为，则即令，可得，，则.
点P到平面ABCD的距离为，即为该四棱锥的高.故选D.
4.答案：C
解析：建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，所以在上的投影数量为，所以点到直线EC的距离.故选C.
5.答案：C
解析：，，同理，.
又与CD成角，或.
，，或，或故选C.
6.答案：B
解析：由题可得，，，设平面的一个法向量为，则取，得，，故，则点D到平面的距离，
，
，
，
四面体的体积.
故选B.
7.答案：B
解析：过点B作，垂足为E（图略）.设点E的坐标为，由题意，，，，则，，.
因为所以
解得所以，
所以点B到直线的距离.故选B.
8.答案：A
解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面BED的法向量为，
则令，得，
，且，
平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.故选A.
9.答案：BCD
解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
可得，，.
对于选项A：设，则，
因为，所以，不为0，
所以不成立，故A错误；
对于选项B：由，可知，平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又，平面，
所以平面平面，当时，A，，，P四点共面，即平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：当，时，，，可得，又，所以点P到直线的距离为，故C正确；
对于选项D：当时，，且，可知，
由，，
可知，的重心为，所以点P为的重心，故D正确.
故选BCD.
10.答案：ABD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，.
对于A，，，，所以，，所以，，又，平面，所以平面，A正确；对于B，易知为平面的一个法向量，，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为，B正确；对于C，由题可得平面，故直线OE到平面的距离为，故C错误；对于D，，，所以，所以点P到直线AD的距离为，D正确.故选ABD.
11.答案：
解析：由题知，，，
，又，点P到直线l的距离为.
12.答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.
设且即令，则，，所以，所以异面直线和BD的距离，所以P，Q间距离的最小值为.
13.答案：1
解析：如图，连接，，且与相交于点O，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，易知平面.
设平面的一个法向量是，
则令，则，，所以.又因为，
所以点A到平面的距离为，
故直线到平面的距离为1.
14.答案：
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
，，，，
，，，.
又，，平面平面.
平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面EFBD的距离.
设平面AMN的法向量为，
则解得
取，则，，所以.
，平面AMN与平面EFBD的距离.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
解析：（1）证明：由题意可知，可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2，所以，，，
又M为棱上一点，设，则，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）连接，由（1）及（1）中的空间直角坐标系可知，，，
因为M为中点，所以，
所以，，，
设平面BDM的法向量为，则即
令，则.所以，
所以点到平面BDM的距离.
（3）不存在点M使得平面BDM，理由如下：
由（1）（2）及（1）中的空间直角坐标系可知，，，，
所以，，，
设平面BDM的法向量为，则
令，则.所以，
若平面BDM，则，
所以，解得，故不存在点M使得平面BDM.