2.4 曲线与方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.4 曲线与方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 386.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:09:44 | ||
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文档简介
2.4 曲线与方程
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.方程表示的曲线为( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
2.在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
3.已知点，，的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A.一个点 B.两个点 C.一条直线 D.两条直线
4.平面内有两定点A，B，且，动点P满足，则点P的轨迹是( )
A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线
5.已知，点在曲线上，则的值为( )
A. B. C.或 D.或
6.方程所表示的曲线的图形是( )
A. B.
C. D.
7.平面内动点P到定点的距离比点P到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为( )
A. B.
C.或 D.或
8.已知曲线，则下列说法错误的是( )
A.曲线C仅过一个整点 B.曲线C上的点距原点最大距离为2
C.曲线C围成的图形面积大于 D.曲线C为轴对称图形
9.（多选）已知曲线，则( )
A.E关于原点对称 B.E关于x轴对称
C.E关于直线对称 D.为E的一个顶点
10.（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于坐标原点对称
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.四叶草曲线C所围的区域面积大于
D.四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
11.若曲线经过点和，则_________，_________.
12.由曲线围成的图形的面积为_________.
13.已知A，B分别是直线和上的动点，且满足，则AB的中点M的轨迹方程为__________.
14.在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的方程为，若与有且仅有三个公共点，则实数k的值为__________.
15.已知平面上两点和，若直线上存在点P使得，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线：①；②；③；④.其中是“单曲型直线”的是__________.（填序号）
答案以及解析
1.答案：D
解析：化简整理后为方程，，所以方程表示的曲线是半个圆.故选D.
2.答案：D
解析：易知点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆在第四象限内的部分，所以.
3.答案：D
解析：设顶点C到边AB的距离为d，则，，顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线和.
4.答案：C
解析：以AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系（图略），则，.设动点，则，所以，即点P的轨迹是圆.
5.答案：C
解析：将点P的坐标代入，得，解得.
又，所以或.故选C.
6.答案：D
解析：因为方程，所以可得或，即或，所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，故选D.
7.答案：D
解析：设点，因为平面内动点P到定点的距离比点P到y轴的距离大2，
所以.
当时，，即，
等号两边同时平方整理可得；
当时，，即，
等号两边同时平方整理可得.
综上所述，动点P的轨迹方程为或.故选D.
8.答案：C
解析：设曲线，则，D正确；
，解得，当且仅当时取等号，故B正确，C错误；
圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有，，，，，，，，，将点的坐标代入曲线C的方程可知点在曲线C上，，，，，，，，不在曲线C上，因此曲线C仅过一个整点，故A正确.故选C.
9.答案：ACD
解析：A：用和同时替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；
B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故曲线E不关于x轴对称，故B错误；
C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故曲线E关于直线对称，故C正确；
D：由C选项得曲线E关于直线对称，
解
得或
所以是E的一个顶点，故D正确.故选ACD.
10.答案：AB
解析：对A：若点在C上，则亦在C上，
故曲线C关于坐标原点对称，故A正确；
对B：若，，，
则，即，当且仅当时等号成立，
故曲线C上的点到原点的最大距离为，故B正确；
对C：由B知，故曲线C在圆内部，
圆的面积为，
故叶草曲线C所围的区域面积不大于，故C错误；
对D：由B知，则，，
则当x、y为整数时，只有、，此时满足曲线C，
故四叶草曲线C只经过1个整点，故D错误.
故选：AB.
11.答案：；2
解析：把点A，B的坐标代入已知方程得解得
12.答案：
解析：当，时，曲线表示的图形为以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为.
13.答案：
解析：设，，，则AB的中点，所以，.
又，即，所以AB的中点M的轨迹方程为.
14.答案：
解析：由与有且仅有三个公共点，如图.
由题意可知，，，故点到直线的距离等于圆的半径，即，解得或，又，.
15.答案：①②
解析：因为，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为.根据题意得，“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.
对于①，联立得，因为，且，所以是“单曲型直线”.
对于②，联立得，所以是“单曲型直线”.
对于③，联立整理得，显然不成立，所以不是“单曲型直线”.
对于④，联立得，因为，所以不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有①②.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.方程表示的曲线为( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆
2.在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
3.已知点，，的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A.一个点 B.两个点 C.一条直线 D.两条直线
4.平面内有两定点A，B，且，动点P满足，则点P的轨迹是( )
A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线
5.已知，点在曲线上，则的值为( )
A. B. C.或 D.或
6.方程所表示的曲线的图形是( )
A. B.
C. D.
7.平面内动点P到定点的距离比点P到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为( )
A. B.
C.或 D.或
8.已知曲线，则下列说法错误的是( )
A.曲线C仅过一个整点 B.曲线C上的点距原点最大距离为2
C.曲线C围成的图形面积大于 D.曲线C为轴对称图形
9.（多选）已知曲线，则( )
A.E关于原点对称 B.E关于x轴对称
C.E关于直线对称 D.为E的一个顶点
10.（多选）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是( )
A.曲线C关于坐标原点对称
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.四叶草曲线C所围的区域面积大于
D.四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
11.若曲线经过点和，则_________，_________.
12.由曲线围成的图形的面积为_________.
13.已知A，B分别是直线和上的动点，且满足，则AB的中点M的轨迹方程为__________.
14.在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的方程为，若与有且仅有三个公共点，则实数k的值为__________.
15.已知平面上两点和，若直线上存在点P使得，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线：①；②；③；④.其中是“单曲型直线”的是__________.（填序号）
答案以及解析
1.答案：D
解析：化简整理后为方程，，所以方程表示的曲线是半个圆.故选D.
2.答案：D
解析：易知点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆在第四象限内的部分，所以.
3.答案：D
解析：设顶点C到边AB的距离为d，则，，顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线和.
4.答案：C
解析：以AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系（图略），则，.设动点，则，所以，即点P的轨迹是圆.
5.答案：C
解析：将点P的坐标代入，得，解得.
又，所以或.故选C.
6.答案：D
解析：因为方程，所以可得或，即或，所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，故选D.
7.答案：D
解析：设点，因为平面内动点P到定点的距离比点P到y轴的距离大2，
所以.
当时，，即，
等号两边同时平方整理可得；
当时，，即，
等号两边同时平方整理可得.
综上所述，动点P的轨迹方程为或.故选D.
8.答案：C
解析：设曲线，则，D正确；
，解得，当且仅当时取等号，故B正确，C错误；
圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有，，，，，，，，，将点的坐标代入曲线C的方程可知点在曲线C上，，，，，，，，不在曲线C上，因此曲线C仅过一个整点，故A正确.故选C.
9.答案：ACD
解析：A：用和同时替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；
B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故曲线E不关于x轴对称，故B错误；
C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故曲线E关于直线对称，故C正确；
D：由C选项得曲线E关于直线对称，
解
得或
所以是E的一个顶点，故D正确.故选ACD.
10.答案：AB
解析：对A：若点在C上，则亦在C上，
故曲线C关于坐标原点对称，故A正确；
对B：若，，，
则，即，当且仅当时等号成立，
故曲线C上的点到原点的最大距离为，故B正确；
对C：由B知，故曲线C在圆内部，
圆的面积为，
故叶草曲线C所围的区域面积不大于，故C错误；
对D：由B知，则，，
则当x、y为整数时，只有、，此时满足曲线C，
故四叶草曲线C只经过1个整点，故D错误.
故选：AB.
11.答案：；2
解析：把点A，B的坐标代入已知方程得解得
12.答案：
解析：当，时，曲线表示的图形为以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为.
13.答案：
解析：设，，，则AB的中点，所以，.
又，即，所以AB的中点M的轨迹方程为.
14.答案：
解析：由与有且仅有三个公共点，如图.
由题意可知，，，故点到直线的距离等于圆的半径，即，解得或，又，.
15.答案：①②
解析：因为，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为.根据题意得，“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.
对于①，联立得，因为，且，所以是“单曲型直线”.
对于②，联立得，所以是“单曲型直线”.
对于③，联立整理得，显然不成立，所以不是“单曲型直线”.
对于④，联立得，因为，所以不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有①②.