2.5.1 椭圆的标准方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

2.5.1 椭圆的标准方程
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点.若，则点P的横坐标为( )
A. B. C.4 D.9
3.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则( )
A.9 B.3 C.4 D.8
4.已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是( )
A. B.9 C.16 D.25
5.已知P是椭圆在第一象限上的点，且以点P及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则点P横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点P在C上，，则( )
A.的周长为6 B.的面积为
C.内切圆的半径为 D.
10.（多选）设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，则下列说法正确的有( )
A.点P的轨迹方程为
B.
C.存在4个点P，使得的面积为
D.
11.椭圆的焦距为4，则m的值为___________.
12.焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆的标准方程是__________.
13.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，.若，则椭圆的标准方程为__________.
14.已知椭圆，，分别为椭圆C的左、右焦点，为椭圆C上一点，，则___________.
15.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，即，解得且0，故选D.
2.答案：B
解析：设，，，，，与联立，解得，故选B.
3.答案：B
解析：法一：设，，则，
，.
又，，解得.
法二：由焦点三角形面积公式得.故选B.
4.答案：D
解析：由题得，所以，
所以，
当且仅当时，取得最大值25.故选D.
5.答案：B
解析：设（，），由题知，，所以，又，所以，将其代入，解得，所以，故选B.
6.答案：B
解析：由椭圆方程得，，设，则，，所以.①
又点P在椭圆上，则，即，代入①得，所以，故选B.
7.答案：A
解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，
，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，
故动圆圆心的轨迹方程为，故选A.
8.答案：B
解析：因为，所以点A在椭圆内部.记椭圆C的右焦点为E，则.连接PE，如图所示，由题得，点P在椭圆C上，所以，，则，当点P是AE的延长线与椭圆C的交点时，取等号，所以的最大值为，故选B.
9.答案：BC
解析：由可得，，.
A：的周长为，所以A错误；
B：由余弦定理可得，故，即，
所以，所以B正确；
C：设内切圆的半径为r，则，所以，所以C正确；
D：，所以，
所以，所以，所以D错误.故选BC.
10.答案：AD
解析：对于A，由得，，
所以点P的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，即，，则，故点的轨迹方程为，A正确.
对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部，如图所示，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故B错误；
，
因为，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故D正确.
对于C，，其中h为点P到直线的距离，若，则，由于当点P为椭圆的右顶点时，h取得最大值3，故满足条件的点P只有一个，C错误.故选AD.
11.答案：10或2
解析：由椭圆的焦距为4，得，即.当，时，，；当，时，，.故m的值为10或2.
12.答案：
解析：由已知得，，所以，则，
所以椭圆的标准方程是.
13.答案：
解析：，，.又，.由椭圆定义可知，，，，椭圆的标准方程为.
14.答案：或
解析：方法一：由题意可得，.
在中，由余弦定理可得，所以有，
即，即，
所以，整理得，所以或，
解得或，又因为，
所以或.
方法二：已知，由焦点三角形面积公式得，又，所以，又因为，所以.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由知，因此.
因为轴时，，所以可得点P的坐标为或，
因为点P在椭圆上，所以，
又，所以，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，，
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，所以，
所以，
所以的面积为.