2.5.2 椭圆的几何性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5.2 椭圆的几何性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 673.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:11:23 | ||
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文档简介
2.5.2 椭圆的几何性质
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知点，是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为,短轴长为,小椭圆的短轴长为,则小椭圆的长轴长为______( )
A.30 B.20 C.10 D.
5.已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，（）.若椭圆的离心率为，则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，F为C的一个焦点，P为C上一动点，则的最大值为( )
A.3 B.5 C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，四边形是等腰梯形，，，则C的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知P为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( )
A.椭圆的长轴长为8 B.椭圆的离心率为
C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为
10.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是( )
A.存在点P，使得
B.的面积的最大值为
C.点P到直线距离的最大值为
D.的最大值为7
11.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且.若，，则椭圆的两个焦点之间的距离为____________.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为I.若为正三角形，则___________，C的离心率的取值范围是___________.
13.已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是__________.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为___________.
15.已知F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上的一点.
（1）作正方形（F，P，A，B按逆时针方向排列），当点P沿着椭圆运动一周，求动点B的轨迹方程.
（2）设为椭圆外一点，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，.
2.答案：A
解析：由题意可得，，即.又，，
椭圆C的标准方程为.故选A.
3.答案：C
解析：设，则，，，.
点P在椭圆上，，当时，取得最小值2.故选C.
4.答案：B
解析：因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同,则,即,得,
所以小椭圆的长轴长为：.
故选：B.
5.答案：A
解析：设，则，不妨设点A是椭圆长轴的左端点，则，.因为椭圆的离心率为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选A.
6.答案：D
解析：设椭圆C的半焦距为，，，故椭圆的焦点在y轴上.
，又离心率为，，解得，，，.
根据椭圆的性质可知.故选D.
7.答案：B
解析：依题意得，如图，连接.
由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，.
在中，，
所以，解得，
所以C的离心率e的取值范围是.故选B.
8.答案：A
解析：方法一：当轴时，有两个点P满足为直角三角形；
当轴时，有两个点P满足为直角三角形.
使为直角三角形的点P有且只有4个，
以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，，
，，又，解得.
方法二：由使为直角三角形的点P有且只有4个，且当点P落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，得，又，.故选A.
9.答案：BD
解析：由题意易知椭圆的短半轴长，因为截面与底面所成的角，所以椭圆的长轴长，则，所以，离心率.当以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的方程为.故选BD.
10.答案：BCD
解析：对于A，当P为椭圆短轴端点时，最大，此时，即为锐角，所以不存在点P，使得，即与不垂直，故A错误；
对于B，当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，且最大面积为，故B正确；
对于C，由椭圆，
又点P在椭圆上，令则有，所以点P到直线的距离，
其中，当且仅当时，，故C正确；
对于D，由椭圆，得，又，所以，所以，当且仅当P为射线与椭圆的交点时等号成立，故D正确.
故选BCD.
11.答案：
解析：不妨设椭圆的标准方程为，由题意知，.
，，不妨设点C的坐标为.
点C在椭圆上，，
，，，则椭圆的两个焦点之间的距离为.
12.答案：；
解析：设A为椭圆C的上顶点，点P位于第一象限，由为正三角形可知点I在y轴上.作交椭圆于点B，则，连接，如图所示.
依题意得.连接，，依题意得点P位于点A与B之间，故，所以则化为解得.
13.答案：
解析：设，则.①，，由可得，即.②，由①②消去，整理得.因为，所以.因为，所以.
所以实数t的取值范围为.
14.答案：
解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①
又因为点P在椭圆上，所以.
将①代入可得.
又，所以，又，所以，两边同除以a得，所以.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）如图所示，将椭圆C绕其左焦点逆时针旋转，得到椭圆.
注意到在正方形FPAB中，点B也可以看成是由点P绕点F逆时针旋转形成，
由于点P在椭圆C上运动，则点B在椭圆上运动.
因此求点B的轨迹方程，也就是求椭圆的方程.
注意到椭圆的中心坐标为，
从而的方程为.
（2）如图所示，，
当且仅当P，F，Q三点共线，且P在线段FQ上，即P运动到位置时，等号成立.
记椭圆C的右焦点为，
注意到，
显然有，
从而，
当且仅当P，E，Q三点共线，且E在线段PQ上，即P运动到位置时，等号成立.
于是可得.
故的取值范围为.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知点，是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为,短轴长为,小椭圆的短轴长为,则小椭圆的长轴长为______( )
A.30 B.20 C.10 D.
5.已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，（）.若椭圆的离心率为，则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为，F为C的一个焦点，P为C上一动点，则的最大值为( )
A.3 B.5 C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，四边形是等腰梯形，，，则C的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知P为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( )
A.椭圆的长轴长为8 B.椭圆的离心率为
C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为
10.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是( )
A.存在点P，使得
B.的面积的最大值为
C.点P到直线距离的最大值为
D.的最大值为7
11.设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且.若，，则椭圆的两个焦点之间的距离为____________.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为I.若为正三角形，则___________，C的离心率的取值范围是___________.
13.已知椭圆的一个顶点为，对于x轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，则实数t的取值范围是__________.
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，.若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为___________.
15.已知F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上的一点.
（1）作正方形（F，P，A，B按逆时针方向排列），当点P沿着椭圆运动一周，求动点B的轨迹方程.
（2）设为椭圆外一点，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，点M在以为直径的圆上.
又点M在椭圆的内部，，，即，，即.又椭圆的离心率，.
2.答案：A
解析：由题意可得，，即.又，，
椭圆C的标准方程为.故选A.
3.答案：C
解析：设，则，，，.
点P在椭圆上，，当时，取得最小值2.故选C.
4.答案：B
解析：因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同,则,即,得,
所以小椭圆的长轴长为：.
故选：B.
5.答案：A
解析：设，则，不妨设点A是椭圆长轴的左端点，则，.因为椭圆的离心率为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选A.
6.答案：D
解析：设椭圆C的半焦距为，，，故椭圆的焦点在y轴上.
，又离心率为，，解得，，，.
根据椭圆的性质可知.故选D.
7.答案：B
解析：依题意得，如图，连接.
由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，.
在中，，
所以，解得，
所以C的离心率e的取值范围是.故选B.
8.答案：A
解析：方法一：当轴时，有两个点P满足为直角三角形；
当轴时，有两个点P满足为直角三角形.
使为直角三角形的点P有且只有4个，
以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，，
，，又，解得.
方法二：由使为直角三角形的点P有且只有4个，且当点P落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，得，又，.故选A.
9.答案：BD
解析：由题意易知椭圆的短半轴长，因为截面与底面所成的角，所以椭圆的长轴长，则，所以，离心率.当以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的方程为.故选BD.
10.答案：BCD
解析：对于A，当P为椭圆短轴端点时，最大，此时，即为锐角，所以不存在点P，使得，即与不垂直，故A错误；
对于B，当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，且最大面积为，故B正确；
对于C，由椭圆，
又点P在椭圆上，令则有，所以点P到直线的距离，
其中，当且仅当时，，故C正确；
对于D，由椭圆，得，又，所以，所以，当且仅当P为射线与椭圆的交点时等号成立，故D正确.
故选BCD.
11.答案：
解析：不妨设椭圆的标准方程为，由题意知，.
，，不妨设点C的坐标为.
点C在椭圆上，，
，，，则椭圆的两个焦点之间的距离为.
12.答案：；
解析：设A为椭圆C的上顶点，点P位于第一象限，由为正三角形可知点I在y轴上.作交椭圆于点B，则，连接，如图所示.
依题意得.连接，，依题意得点P位于点A与B之间，故，所以则化为解得.
13.答案：
解析：设，则.①，，由可得，即.②，由①②消去，整理得.因为，所以.因为，所以.
所以实数t的取值范围为.
14.答案：
解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①
又因为点P在椭圆上，所以.
将①代入可得.
又，所以，又，所以，两边同除以a得，所以.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）如图所示，将椭圆C绕其左焦点逆时针旋转，得到椭圆.
注意到在正方形FPAB中，点B也可以看成是由点P绕点F逆时针旋转形成，
由于点P在椭圆C上运动，则点B在椭圆上运动.
因此求点B的轨迹方程，也就是求椭圆的方程.
注意到椭圆的中心坐标为，
从而的方程为.
（2）如图所示，，
当且仅当P，F，Q三点共线，且P在线段FQ上，即P运动到位置时，等号成立.
记椭圆C的右焦点为，
注意到，
显然有，
从而，
当且仅当P，E，Q三点共线，且E在线段PQ上，即P运动到位置时，等号成立.
于是可得.
故的取值范围为.