2.6.1 双曲线的标准方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.6.1 双曲线的标准方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 457.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:11:15 | ||
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文档简介
2.6.1 双曲线的标准方程
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则( )
A.1 B.2 C.4 D.
3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线的焦距为( )
A.8 B.12 C.6 D.4
5.已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线C上一点.若，则( )
A.3 B.9 C.21 D.27
6.设O为坐标原点，，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于P，Q两点，且，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，圆，动圆P经过点M且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与E在第一象限交于点P，的平分线与y轴交于点，则( )
A.1 B. C.2 D.
9.（多选）已知方程，则下列说法中正确的是( )
A.方程C可表示圆
B.当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
D.当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10.（多选）下列说法正确的是( )
A.若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线
B.若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆
C.当时，曲线表示椭圆
D.双曲线与椭圆有相同的焦点
11.经过点，的双曲线的标准方程为__________.
12.已知，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，则的面积等于__________.
13.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左支交于P，Q两点，，，则与的面积之比为________.
14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为_____________.
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，双曲线（，）与共焦点，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有且，解得.故选A.
2.答案：A
解析：不妨在双曲线右支上取点P，延长，交于点Q，图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得，，从而，在中，OH为其中位线，故.故选A.
3.答案：A
解析：由题意可得，由双曲线的定义得，而，解得，，由余弦定理得，所以.故选A.
4.答案：B
解析：由双曲线可得，，则，所以焦距为.故选：B.
5.答案：D
解析：由已知可得，解得或，又因为时，，故舍去；当时，，满足题意，故选D.
6.答案：D
解析：由双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则有，
又，可得，，又，所以，
由于，进而，又与的面积相等，故四边形的面积为.故选D.
7.答案：C
解析：圆，即，圆心为，半径，设动圆P的半径为R.
若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以，，所以，所以动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，且，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是；若动圆P与圆C相外切，则，，所以，所以动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是.
综上可得，动圆圆心P的轨迹方程是.故选C.
8.答案：C
解析：由双曲线得，故，，即，，，，设的平分线与x轴交于点M，如图.
因为轴，所以可设，代入双曲线方程得，故，则，即，即.
因为，，所以，
又因为PM平分，所以.
又，所以，则，即.因为P，M，Q三点共线，所以，即，解得.故选C.
9.答案：BCD
解析：对于A，当方程C表示圆时，，无解，故A错误；
对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当方程C表示双曲线时，，焦距为10，当方程C表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选BCD.
10.答案：BD
解析：对于A，定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；
对于B，定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线，即，表示圆，故C错误；
对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.故选BD.
11.答案：
解析：设双曲线的标准方程为，代入点，的坐标可得解得
所以双曲线的标准方程为.
12.答案：24
解析：双曲线的实轴长为2，焦距.由题意，知，所以，，则，所以，所以.
13.答案：
解析：由知，又，则，设，则，，由，得，，则，解得，则，于是.
14.答案：
解析：依题意，，，即，.
所以，解得，
所以，，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以，即，
所以.
当且仅当点A在线段上时等号成立.
故答案为：.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆方程可知，，，
点在双曲线上，
，
，，
双曲线的方程是.
（2）由双曲线的对称性，不妨设，，
则
②变形，，解得，
.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则( )
A.1 B.2 C.4 D.
3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线的焦距为( )
A.8 B.12 C.6 D.4
5.已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线C上一点.若，则( )
A.3 B.9 C.21 D.27
6.设O为坐标原点，，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于P，Q两点，且，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，圆，动圆P经过点M且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与E在第一象限交于点P，的平分线与y轴交于点，则( )
A.1 B. C.2 D.
9.（多选）已知方程，则下列说法中正确的是( )
A.方程C可表示圆
B.当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
D.当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10.（多选）下列说法正确的是( )
A.若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线
B.若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆
C.当时，曲线表示椭圆
D.双曲线与椭圆有相同的焦点
11.经过点，的双曲线的标准方程为__________.
12.已知，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且，则的面积等于__________.
13.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左支交于P，Q两点，，，则与的面积之比为________.
14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为_____________.
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，双曲线（，）与共焦点，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有且，解得.故选A.
2.答案：A
解析：不妨在双曲线右支上取点P，延长，交于点Q，图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得，，从而，在中，OH为其中位线，故.故选A.
3.答案：A
解析：由题意可得，由双曲线的定义得，而，解得，，由余弦定理得，所以.故选A.
4.答案：B
解析：由双曲线可得，，则，所以焦距为.故选：B.
5.答案：D
解析：由已知可得，解得或，又因为时，，故舍去；当时，，满足题意，故选D.
6.答案：D
解析：由双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则有，
又，可得，，又，所以，
由于，进而，又与的面积相等，故四边形的面积为.故选D.
7.答案：C
解析：圆，即，圆心为，半径，设动圆P的半径为R.
若动圆P与圆C相内切，则圆C在圆P内，所以，，所以，所以动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，且，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是；若动圆P与圆C相外切，则，，所以，所以动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是.
综上可得，动圆圆心P的轨迹方程是.故选C.
8.答案：C
解析：由双曲线得，故，，即，，，，设的平分线与x轴交于点M，如图.
因为轴，所以可设，代入双曲线方程得，故，则，即，即.
因为，，所以，
又因为PM平分，所以.
又，所以，则，即.因为P，M，Q三点共线，所以，即，解得.故选C.
9.答案：BCD
解析：对于A，当方程C表示圆时，，无解，故A错误；
对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当方程C表示双曲线时，，焦距为10，当方程C表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选BCD.
10.答案：BD
解析：对于A，定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；
对于B，定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线，即，表示圆，故C错误；
对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.故选BD.
11.答案：
解析：设双曲线的标准方程为，代入点，的坐标可得解得
所以双曲线的标准方程为.
12.答案：24
解析：双曲线的实轴长为2，焦距.由题意，知，所以，，则，所以，所以.
13.答案：
解析：由知，又，则，设，则，，由，得，，则，解得，则，于是.
14.答案：
解析：依题意，，，即，.
所以，解得，
所以，，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以，即，
所以.
当且仅当点A在线段上时等号成立.
故答案为：.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆方程可知，，，
点在双曲线上，
，
，，
双曲线的方程是.
（2）由双曲线的对称性，不妨设，，
则
②变形，，解得，
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