2.7.1 抛物线的标准方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.7.1 抛物线的标准方程——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 500.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:14:38 | ||
图片预览
文档简介
2.7.1 抛物线的标准方程
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A. B.
C.或 D.或
3.已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( )
A. B. C.2 D.4
4.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
5.已知定点，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离为d，则的最小值为( )
A.5 B. C.6 D.12
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A.若，则( )
A.2 B. C. D.4
7.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
8.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为
C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4
10.（多选）已知抛物线，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有( )
A.抛物线的准线方程是
B.当轴时，取最小值
C.若，则的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
11.抛物线的焦点坐标是__________.
12.抛物线上的一点到其准线的距离为______.
13.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若，O为坐标原点，则__________.
14.已知抛物线的焦点为F,点,点M是抛物线C上一个动点,当取最小值时,点M的坐标为______________.
15.已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：抛物线的标准方程为，所以焦点在y轴正半轴.由得，则，所以焦点坐标为.故选D.
2.答案：C
解析：依题意设抛物线方程为.因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或.故选C.
3.答案：C
解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是-2，所以，解得.故选C.
4.答案：D
解析：点在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.
当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.故选D.
5.答案：C
解析：由题知，抛物线的焦点为，设点，则，
则，当且仅当点P为线段AF与抛物线的交点时，等号成立，故的最小值为6.故选C.
6.答案：D
解析：由题知，准线，设准线l与x轴的交点为C，点P在D上，则由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，如图所示.
方法一：因为，轴，所以直线PF的斜率，所以直线，由解得或（舍去），所以.故选D.
方法二：在中，，，则.故选D.
方法三：过F作于点B，则B为AP的中点，因为，所以.故选D.
7.答案：C
解析：由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.
如图，作于点H，因为P在抛物线上，所以.
，当P，Q，H三点共线时，取等号.
过E作直线l的垂线，垂足为，与圆E交于点，与抛物线交于点，则有，此时，E，，，四点共线，且，在线段上，则上述两式可同时取等号.所以的最小值为8.故选C.
8.答案：A
解析：点P在抛物线上，故设，又抛物线的焦点为，准线为直线，故.
，，而，，，整理得，解得.点P的横坐标为.
根据抛物线的定义，得，.故选A.
9.答案：ACD
解析：双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，故B错误；
由，有相同的焦点，得，解得，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.
10.答案：ACD
解析：对于A，抛物线的准线方程为，故A正确；
对于B，设，则，，，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
对于C，A在抛物线外部，如图①所示，故当P，A，F三点共线，且点P在线段AF与抛物线的交点处时，取得最小值，为，故C正确；
对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，如图②所示，
设，的中点为，可得，由抛物线的定义得，，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.
故选ACD.
11.答案：
解析：将方程改写成，则焦点的横坐标为，即焦点坐标为.
12.答案：5
解析：在上，
，即，
抛物线为，其准线为，
则到准线的距离为.
故答案为：5.
13.答案：14
解析：设，，，易知，，
则，，.
因为，所以，即.
由抛物线的定义可得，，，所以.
14.答案：
解析：分别过M,A作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为,,
则,当且仅当A,M,三点共线时,等号成立,所以的最小值为,此时点M的坐标为.
故答案为：.
15.答案：
解析：由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为.
设点P的坐标为.点P为抛物线上的动点，，且.
点A的坐标为，
，
，
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得，的最小值是.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A. B.
C.或 D.或
3.已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( )
A. B. C.2 D.4
4.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
5.已知定点，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离为d，则的最小值为( )
A.5 B. C.6 D.12
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A.若，则( )
A.2 B. C. D.4
7.已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
8.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为
C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4
10.（多选）已知抛物线，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有( )
A.抛物线的准线方程是
B.当轴时，取最小值
C.若，则的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
11.抛物线的焦点坐标是__________.
12.抛物线上的一点到其准线的距离为______.
13.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若，O为坐标原点，则__________.
14.已知抛物线的焦点为F,点,点M是抛物线C上一个动点,当取最小值时,点M的坐标为______________.
15.已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：抛物线的标准方程为，所以焦点在y轴正半轴.由得，则，所以焦点坐标为.故选D.
2.答案：C
解析：依题意设抛物线方程为.因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或.故选C.
3.答案：C
解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是-2，所以，解得.故选C.
4.答案：D
解析：点在第二象限.当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.
当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为.故选D.
5.答案：C
解析：由题知，抛物线的焦点为，设点，则，
则，当且仅当点P为线段AF与抛物线的交点时，等号成立，故的最小值为6.故选C.
6.答案：D
解析：由题知，准线，设准线l与x轴的交点为C，点P在D上，则由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，如图所示.
方法一：因为，轴，所以直线PF的斜率，所以直线，由解得或（舍去），所以.故选D.
方法二：在中，，，则.故选D.
方法三：过F作于点B，则B为AP的中点，因为，所以.故选D.
7.答案：C
解析：由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.
如图，作于点H，因为P在抛物线上，所以.
，当P，Q，H三点共线时，取等号.
过E作直线l的垂线，垂足为，与圆E交于点，与抛物线交于点，则有，此时，E，，，四点共线，且，在线段上，则上述两式可同时取等号.所以的最小值为8.故选C.
8.答案：A
解析：点P在抛物线上，故设，又抛物线的焦点为，准线为直线，故.
，，而，，，整理得，解得.点P的横坐标为.
根据抛物线的定义，得，.故选A.
9.答案：ACD
解析：双曲线的离心率，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，故B错误；
由，有相同的焦点，得，解得，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.
10.答案：ACD
解析：对于A，抛物线的准线方程为，故A正确；
对于B，设，则，，，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
对于C，A在抛物线外部，如图①所示，故当P，A，F三点共线，且点P在线段AF与抛物线的交点处时，取得最小值，为，故C正确；
对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，如图②所示，
设，的中点为，可得，由抛物线的定义得，，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.
故选ACD.
11.答案：
解析：将方程改写成，则焦点的横坐标为，即焦点坐标为.
12.答案：5
解析：在上，
，即，
抛物线为，其准线为，
则到准线的距离为.
故答案为：5.
13.答案：14
解析：设，，，易知，，
则，，.
因为，所以，即.
由抛物线的定义可得，，，所以.
14.答案：
解析：分别过M,A作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为,,
则,当且仅当A,M,三点共线时,等号成立,所以的最小值为,此时点M的坐标为.
故答案为：.
15.答案：
解析：由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为.
设点P的坐标为.点P为抛物线上的动点，，且.
点A的坐标为，
，
，
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得，的最小值是.