2.7.2 抛物线的几何性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

2.7.2 抛物线的几何性质
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点到焦点F的距离为，则p的值为( )
A.2 B.1 C. D.
2.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则点M的纵坐标为( )
A. B.4 C. D.
3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.如果，那么( )
A.6 B.8 C.9 D.10
4.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
5.已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点.若，则线段AB的中点M到直线的距离为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.F是抛物线的焦点，A，B是抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.4 B. C.3 D.
7.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若，则等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线C上，若，则( )
A.F的坐标为 B.
C. D.以MF为直径的圆与x轴相切
10.（多选）在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线的焦点，点，在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A.C的准线方程为
B.
C.
D.
11.已知F是抛物线的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点.若，则与的比值等于__________.
12.抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于点M，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为_________.（用含p的代数式表示）
13.一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是坐标原点.若这个三角形的面积为，则__________.
14.已知抛物线的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为__________.
15.已知抛物线.
（1）设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离；
（2）设点A的坐标为，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出的函数表达式.
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意可得，解得.故选C.
2.答案：C
解析：由题意得抛物线的焦点.由M是FN的中点，可知点M的横坐标为1，则点M的纵坐标为，故选C.
3.答案：B
解析：由题意知，抛物线的焦点为.
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，.
又，.故选B.
4.答案：B
解析：由抛物线的性质知，当焦点弦与x轴垂直时，焦点弦最短，焦点弦的最短弦长为4，这样的直线有两条.
5.答案：B
解析：如图，抛物线的焦点为，准线为直线，即.
过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则，即点M到准线的距离为4.故选B.
6.答案：D
解析：抛物线的焦点，准线方程为.
设，，根据抛物线的定义得，所以，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D.
7.答案：C
解析：方法一：抛物线的焦点，准线，设准线l与x轴交于点H，过点A，B分别作，，垂足分别为D，E.
由抛物线的定义可知，，，又，则，则，故，又，，则.
又直线AB的方程为，联立整理得，则，
由抛物线的性质可知，，，
，故选C.
方法二：由得直线AB的倾斜角为，所以，故选C.
8.答案：C
解析：方法一：由题意得，因为，所以，设，，则.当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线只有1个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得，则，，因为，故，，所以，解得，故直线l的斜率为.故选C.
方法二：由题意得，因为，所以.直线l过抛物线的焦点F，设直线l的倾斜角为.当为锐角时，，，联立，解得.又因为，所以.同理，当为钝角时，，.所以直线l的斜率，故选C.
方法三：因为，即点F是AB中靠近点B的三等分点，分点B在x轴下方和x轴上方两种情况讨论，当点B在x轴下方时，如图①，过点A，B分别作AM，BN垂直于准线，垂足分别为M，N，过点B作AM的垂线，垂足为D.由抛物线的定义知，，，又，所以，所以，则，所以直线l的斜率.
同理，当点B在x轴上方时，如图②，过点A，B分别作AM，BN垂直于准线，垂足分别为M，N，过点B作AM的垂线，垂足为D，则，所以，则，则，所以直线l的斜率.综上，选C.
9.答案：BCD
解析：对于抛物线，可得，，且焦点在y轴正半轴上，则点，A错误；
由抛物线的定义可得，可得，B正确；
由可知，可得，所以，C正确；
因为MF的中点坐标为，则点到x轴的距离，所以以MF为直径的圆与x轴相切，D正确.
故选BCD.
10.答案：ABD
解析：点，在抛物线C上，则有解得所以抛物线，，.
选项A：抛物线C的准线方程为，A正确；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：抛物线C的焦点，则，，则，D正确.故选ABD.
11.答案：
解析：由题得，，.
12.答案：
解析：由题意可知，，准线方程为，，不妨设，四边形PMNF为平行四边形，，，点P到x轴的距离为.
13.答案：
解析：设正三角形的边长为x，则，解得.当时，将代入，解得；当时，将代入得.故.
14.答案：8
解析：方法一：设，，抛物线的焦点为点，准线方程为，则直线AB的方程为，如图.
由方程组得，则.
设A，B到准线的距离分别为，，由抛物线定义可知，即弦AB的长为8.
方法二：由题意知，直线AB的倾斜角，则.
15.答案：（1）距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是
（2）d最小值见解析，
解析：（1）设抛物线上任一点P的坐标为，
则.
因为，且在此区间上随着x的增大而增大，
所以当时，，
故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是.
（2）设抛物线上任一点Q的坐标为，
则.
当，即时，，解得，此时；
当，即时，，解得，此时.
所以