2.8 直线与圆锥曲线的位置关系——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.直线与椭圆的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若直线l过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.设抛物线的焦点为F，直线l过点且与C交于A，B两点，.若，则实数( )
A. B.2 C.4 D.6
5.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴上的射影为点N，O为坐标原点.若，则E的离心率是( )
A. B. C. D.
6.不过原点的直线（，）与双曲线（，）交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.若直线OM的斜率小于，则双曲线E的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则a的值为( )
A. B.6 C. D.
8.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N.若，则的面积为( )
A. B.4 C. D.2
9.（多选）已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是( )
A.为定值
B.线段AB中点的轨迹方程为
C.的最小值为16
D.点O在以AB为直径的圆外
10.（多选）设M为双曲线上一动点，，分别为双曲线C的上、下焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.若，则或6
B.双曲线C与双曲线的离心率相同
C.若点，点M在双曲线C的上支，则的最小值为
D.过的直线l交C于不同的两点G，H，若，则l有2条
11.若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为__________.
12.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为___________.
13.已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，.若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________.
14.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线交抛物线C于A，B两点，O为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O.
15.已知椭圆的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2，F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点，且直线MC与MD的斜率之积为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.
答案以及解析
1.答案：C
解析：直线过定点，所以，解得①.由于方程表示椭圆，所以且②.由①②得实数m的取值范围是.故选C.
2.答案：A
解析：设，，则两式相减得直线l的斜率为.又直线l过点，所以直线l的方程为，即，经检验此时直线l与双曲线有两个交点.故选A.
3.答案：D
解析：由题知，抛物线的焦点为，准线方程为.因为点A在F的正上方，所以点A的坐标为.
1.答案：B
解析：由题意知，点在抛物线上，所以过点作与抛物线只有一个公共点的直线有2条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行.
2.答案：C
解析：由椭圆，可得，，则椭圆的右顶点为，上顶点为.又直线恰好过点A，B，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.故选C.
3.答案：C
解析：当直线l的斜率存在时，设直线，与双曲线方程联立并化简得，要使直线l与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或有两个相等实根，或（不成立），解得.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为，由双曲线的右顶点为可知，此时直线l与双曲线也只有一个公共点.综上，这样的直线有3条，故选C.
4.答案：C
解析：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，由及抛物线的定义知点B的横坐标为，代入抛物线方程得.
根据抛物线的对称性，不妨取，则直线l的方程为.
联立得，于是.故选C.
5.答案：B
解析：由题意得，，设.
因为，所以，所以，则有即.
因为点M在椭圆上，所以，化简得，所以离心率.故选B.
6.答案：B
解析：设点，，则有，，
两式作差得，即，
设，则有，，又，，代入整理得，即.由题意知，因为，所以，，又，所以，解得，即，则.故选B.
7.答案：A
解析：因为A，B两点在直线上，所以可设，，故，.因为，所以即.又因为A，B两点在椭圆上，所以即故，
等式两边同时减去1，整理得到解得或.
因为所以，故，故选A.
8.答案：A
解析：方法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为，则，.
因为，所以，所以，所以，所以，，所以.
因为，所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，所以.
方法二：在中，因为，所以，则.
又，所以为等边三角形.
易得，所以.故选A.
9.答案：ABD
解析：由题意可知，所以，则抛物线方程.易得直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为，，，所以得，，所以，.
对于A，，故选项A正确；
对于B，设线段AB的中点为，则有
，，所以满足，故选项B正确；
对于C，，当且仅当，即直线l垂直x轴时取等号，故选项C错误；
对于D，，则O在以AB为直径的圆外，所以选项D正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：对于A，因为，，所以，，则，由双曲线的定义可知，又4，则，解得或6.当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
综上，或6，故A正确.
对于B，因为双曲线离心率，所以双曲线的离心率为.双曲线，即，离心率为，
所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确.
对于C，，当且仅当点M在线段与双曲线的交点处时，等号成立，所以的最小值为，故C正确.
对于D，由双曲线，得，，
当直线l的斜率为0时，l的方程为，联立得或所以，，所以，不符合题意；
当直线l的斜率不存在时，，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0.
故设，，设，，
联立得，则
所以
，
所以或，
解得或，符合题意，所以这样的直线l有4条，故D错误.故选ABC.
11.答案：1
解析：设过点A的弦的端点为，.
由题意知直线MN的斜率存在，则两式作差可得，因此直线MN的斜率为.
12.答案：
解析：双曲线（，）的渐近线方程为，由于过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则，因此，又，所以该双曲线的离心率的取值范围是.
13.答案：
解析：取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），椭圆上一点，右焦点，设点到直线的距离为d，
则
，
所以.
因为本题中椭圆的离心率，设，，
则由上述焦半径公式得，得，即AB的中点为.
设.由得线段AB垂直平分线的斜率为.
根据点A，B在椭圆上，则有，，作差化简得，则线段AB的垂直平分线
方程为，代入得，
即，则.
14.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，
所以为抛物线的焦点，可得，则，
所以抛物线C的方程为.
（2）证明：设，，
联立可得，，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
所以
.
所以，所以以AB为直径的圆经过原点O.得证.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意有，，设，
则，化简得，
结合，可得，
由椭圆焦距为2，得，
所以，所以，，
则椭圆E的标准方程为.
（2）证明：显然直线AB的斜率不存在时，与椭圆无交点，
根据椭圆的对称性，欲证点A，H关于x轴对称，
只需证，即证.
设，，直线AB的方程为，.
由消去x得，
，解得，
所以，，
则.
因为，
所以，即点A，H关于x轴对称.