3.3 二项式定理与杨辉三角——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析）

3.3 二项式定理与杨辉三角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.已知，则实数b的值为( )
A.15 B.20 C.40 D.60
2.的展开式中，的系数是( )
A.1792 B.-1792 C.448 D.-448
3.的展开式中的系数为15，则( ).
A.7 B.6 C.5 D.4
4.的展开式中，的系数为12，则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值可以是( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
6.的展开式中的系数为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
7.若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为( )
A.10 B.-10 C.5 D.-5
8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.在第10行中第5个数最大
B.在第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C.
D.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
9.（多选）若，则( )
A.展开式中所有项的二项式系数之和为
B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项
C.
D.
10.（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )
A.
B.第2022行的第1011个数最大
C.第n行的所有数字之和为
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
11.的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
12.在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）
13.已知的展开式中的系数为-160，则展开式中各项系数之和为__________.（用数字作答）
14.若的展开式中常数项为160，则的最小值为__________.
15.的展开式中，项的系数是__________.（用数字作答）
答案以及解析
1.答案：D
解析：的展开式的通项为.
令，则，解得，则，故选D.
2.答案：D
解析：的展开式中，含的项为.所以的系数是-448.
3.答案：B
解析：的展开式的通项为，的系数为15，故选B.
4.答案：C
解析：中含的项为，中含的项为.
由题意得，即，解得.故选C.
5.答案：B
解析：因为，所以a被10除得的余数是1.
四个选项中，只有被10除得的余数是1.故选B.
6.答案：C
解析：因为，的通项为，
所以的展开式中的系数为，的展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故选C.
7.答案：A
解析：由二项式系数之和为32，即，可得，展开式的通项.令，得，所以常数项为，故选A.
8.答案：D
解析：A选项，第10行，10是偶数，所以是第10行中的最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误；
B选项，2023是奇数，则在2023行中中间两项最大，即和最大，也就是在第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
C选项，由可得，故选项C错误；
D选项，，故选项D正确.故选D.
9.答案：ABC
解析：展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确；
展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；
令可得，故C正确；
令可得，，故D错误.故选ABC.
10.答案：ACD
解析：，，故A正确；
由题图可知，第n行有个数，则第2022行有2023个数，其中第1012个数最大，故B错误；
第n行是二项式展开式的二项式系数，则所有数字之和为，故C正确；
第34行从左到右第14个数是，第34行从左到右第15个数是，所以，故D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：展开式的通项为，所以的展开式中的系数为.
12.答案：
解析：二项式的展开式的通项，令，则，所以，所以二项式的展开式中的常数项为.
13.答案：1
解析：的展开式的通项为，令，解得，故的展开式中的系数为，解得，故的展开式中各项系数之和为.
14.答案：4
解析：二项式展开式的通项为，令，则，所以，即，所以.因为，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为4.
15.答案：-25
解析：因为，其展开式的通项为.
所以当，即时，求展开式的项，故此时的系数是；
当，即时，求展开式的常数项，故此时的系数是.
综上可得，项的系数是.