4.1.3 独立性与条件概率的关系——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析）

4.1.3 独立性与条件概率的关系
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.已知，且A，B相互独立，则( )
A.0.18 B.0.9 C.0.3 D.无法求解
2.某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装、杯装、瓶装.现有甲、乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人下象棋并约定谁先赢满5局，谁就获得全部奖金700法郎，下了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再继续.假设每局两人输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理( )
A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎
C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎
4.已知事件A，B满足，，则( )
A. B.
C.事件A，B相互独立 D.事件A，B互斥
5.羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）.甲、乙两人争夺比赛的冠军.甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )
A. B. C. D.
6.一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1，2，3，4.抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字.记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是( )
A. B.事件A与事件B互斥
C. D.事件A与事件B相互独立
7.已知，，则事件A与事件B( )
A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.以上均不正确
8.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件A，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件B，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件C，则下列判断错误的是( )
A.A，B互为独立事件 B.A，B为互斥事件
C. D.
9.（多选）已知事件A，B满足，，则( )
A.若，则
B.若A与B互斥，则
C.若，则A与B相互独立
D.若A与B相互独立，则
10.（多选）甲袋中装有4个白球、2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则( )
A.，，两两互斥
B.
C.与B是相互独立事件
D.
11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛的概率为__________.
12.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为__________.
13.已知A，B独立，且，，则____________.
14.已知事件A，B相互独立，且，，则______.
15.根据天气预报，元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为.已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响.
（1）分别求甲、乙两地降雨的概率；
（2）求在元旦期间甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，且A，B相互独立，
，，
.
2.答案：C
解析：记事件C为“甲学生选杯装酸奶”，则，记事件D为“两人选的包装不同”，则事件CD为“甲学生选杯装酸奶，乙学生选袋装酸奶或瓶装酸奶”，
所以，所以.故选C.
3.答案：C
解析：设甲、乙赢得700法郎的概率分别为，，
由题意得甲赢得700法郎的概率，乙赢得700法郎的概率，因此应分配给甲（法郎），分配给乙（法郎）.故选C.
4.答案：C
解析：由题得，所以，即A，B相互独立，同一试验中不互斥，而未知，所以无法确定，的值.故选C.
5.答案：A
解析：甲获得冠军的概率为
而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为
所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为.故选A.
6.答案：C
解析：由题意得，，，，事件A和事件B不相互独立，.故选C.
7.答案：C
解析：依题意知，则，即，于是得，所以事件A与事件B相互独立.故选C.
8.答案：B
解析：，，，从而A，B互为独立事件，A正确；A，B可以同时发生，B错误；，C正确；，D正确.故选B.
9.答案：BD
解析：对于A，因为，，，所以，故A错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故B正确；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；
对于D，因为A与B相互独立，所以A与相互独立，因为，所以，所以，故D正确.故选BD.
10.答案：AB
解析：对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A正确；
对于B，由题意可得，，所以，所以B正确；
对于C，因为，，，，所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知，所以D错误.
11.答案：
解析：根据题意可知恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛是指第一局甲胜，第二局乙胜，第三局、第四局甲连胜，恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛的概率为.
12.答案：
解析：设，分别表示甲两轮猜对1个、2个成语，，分别表示乙两轮猜对1个、2个成语.根据独立事件的性质，可得，，，.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
13.答案：
解析：因为A，B独立，所以与B独立，且，又，所以，所以.
14.答案：
解析：由题设，而，
所以，而，故.
故答案为：
15.答案：（1）甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为
（2）
解析：（1）设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B，且，.
由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
（2）在元旦期间甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率