4.2.5 正态分布——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.2.5 正态分布——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:20:00 | ||
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文档简介
4.2.5 正态分布
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
3.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有( )
A.477人 B.136人 C.341人 D.131人
4.已知随机变量X服从正态分布，若，则( )
A.0.477 B.0.682 C.0.954 D.0.977
5.随机变量，已知其概率密度曲线所对应的函数在处取得最大值为，则( )
附：，.
A.0.6827 B.0.84135 C.0.97725 D.0.9545
6.已知随机变量，则( )
参考数据：若，，，.
A.0.0148 B.0.1355 C.0.1574 D.0.3148
7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，.X和Y的正态曲线如图所示.则下列结果正确的是( )
A. B.
C. D.
8.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A.越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等
9.（多选）在某一次考试中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( )
附：随机变量服从正态分布，则，，.
A.学生数学成绩的期望为100
B.学生数学成绩的标准差为100
C.学生数学成绩及格率超过0.8
D.学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
10.（多选）设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量x服从正态密度函数，其中，则( )
附：随机变量，则，，.
A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率约为
B.生产线乙的食盐质量
C.曲线的峰值为
D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的
11.已知随机变量X服从正态分布，且，则___________.
12.春节前夕，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为__________.
13.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为__________.
14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
15.亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评.亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值.
（2）估计这600名学生成绩的中位数.
（3）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；
②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y，求随机变量Y的期望.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
答案以及解析
1.答案：A
解析：随机变量X服从正态分布，.由，可知.
2.答案：A
解析：由，且，得，根据正态曲线的对称性可知，.
3.答案：B
解析：根据题意，，
则，故此次考试成绩在区间内的学生大约有人.故选B.
4.答案：C
解析：由于随机变量X服从正态分布，故.故选C.
5.答案：B
解析：由题意得，，解得，所以，所以，故.故选B.
6.答案：B
解析：因为，即，，所以，.
又，，且，故选B.
7.答案：C
解析：对于A中，随机变量X服从正态分布，且，可得随机变量X的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态曲线，可得随机变量，，所以，所以B错误；
对于C中，根据正态曲线，可得当时，随机变量X对应的曲线与x轴所围成的面积小于时随机变量Y对应的曲线与x轴所围成的面积，所以，所以C正确；
对于D中，根据正态曲线，可得，，即，所以D错误.故选C.
8.答案：D
解析：对于A，越小，代表正态曲线越陡，故A正确；
对于B，测量结果服从正态分布，则正态曲线的对称轴为直线，故B正确；
对于C，结合正态曲线可知与关于对称轴（直线）对称，故C正确；
对于D，结合正态曲线可知，区间与不关于对称轴（直线）对称，故D错误.故选D.
9.答案：AC
解析：数学成绩X服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；
及格率，故C正确；
不及格率，优秀率，故D错误.故选AC.
10.答案：ACD
解析：对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则，其中，，则，A正确；
对于B，随机变量x服从正态密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误；
对于C，因为，当且仅当时取等号，因此当时，，C正确；
对于D，，说明生产线甲抽到质量大于的可能性很低，则随机抽取两包质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确.故选ACD.
11.答案：0.14
解析：因为，所以，所以.
12.答案：
解析：根据正态曲线的对称性，每个安检入口超过1100人的概率.所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率.
13.答案：0.4
解析：因为服从正态分布，即正态曲线的对称轴为直线，根据正态曲线的对称性，可知在与取值的概率相同，所以在内取值的概率为0.4.
14.答案：8
解析：因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，
所以.
所以该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8.
15.答案：（1）
（2）80
（3）①4442人
②
解析：（1）由频率分布直方图，得，
解得.
（2）由频率分布直方图，得前3组的频率为，
前4组的频率为，
所以中位数恰好为80，
则估计这600名学生成绩的中位数为80.
（3）①由题意得，
所以，则，
所以，
故估计竞赛成绩超过86.8分的学生约有4442人.
②由①得，则，
所以随机变量，所以.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.已知随机变量X服从正态分布，且，则实数a的值为( )
A.1 B. C.2 D.4
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
3.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有( )
A.477人 B.136人 C.341人 D.131人
4.已知随机变量X服从正态分布，若，则( )
A.0.477 B.0.682 C.0.954 D.0.977
5.随机变量，已知其概率密度曲线所对应的函数在处取得最大值为，则( )
附：，.
A.0.6827 B.0.84135 C.0.97725 D.0.9545
6.已知随机变量，则( )
参考数据：若，，，.
A.0.0148 B.0.1355 C.0.1574 D.0.3148
7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，.X和Y的正态曲线如图所示.则下列结果正确的是( )
A. B.
C. D.
8.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A.越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等
9.（多选）在某一次考试中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是( )
附：随机变量服从正态分布，则，，.
A.学生数学成绩的期望为100
B.学生数学成绩的标准差为100
C.学生数学成绩及格率超过0.8
D.学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
10.（多选）设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量x服从正态密度函数，其中，则( )
附：随机变量，则，，.
A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率约为
B.生产线乙的食盐质量
C.曲线的峰值为
D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的
11.已知随机变量X服从正态分布，且，则___________.
12.春节前夕，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为__________.
13.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为__________.
14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
15.亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评.亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中a的值.
（2）估计这600名学生成绩的中位数.
（3）由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；
②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y，求随机变量Y的期望.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
答案以及解析
1.答案：A
解析：随机变量X服从正态分布，.由，可知.
2.答案：A
解析：由，且，得，根据正态曲线的对称性可知，.
3.答案：B
解析：根据题意，，
则，故此次考试成绩在区间内的学生大约有人.故选B.
4.答案：C
解析：由于随机变量X服从正态分布，故.故选C.
5.答案：B
解析：由题意得，，解得，所以，所以，故.故选B.
6.答案：B
解析：因为，即，，所以，.
又，，且，故选B.
7.答案：C
解析：对于A中，随机变量X服从正态分布，且，可得随机变量X的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态曲线，可得随机变量，，所以，所以B错误；
对于C中，根据正态曲线，可得当时，随机变量X对应的曲线与x轴所围成的面积小于时随机变量Y对应的曲线与x轴所围成的面积，所以，所以C正确；
对于D中，根据正态曲线，可得，，即，所以D错误.故选C.
8.答案：D
解析：对于A，越小，代表正态曲线越陡，故A正确；
对于B，测量结果服从正态分布，则正态曲线的对称轴为直线，故B正确；
对于C，结合正态曲线可知与关于对称轴（直线）对称，故C正确；
对于D，结合正态曲线可知，区间与不关于对称轴（直线）对称，故D错误.故选D.
9.答案：AC
解析：数学成绩X服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；
及格率，故C正确；
不及格率，优秀率，故D错误.故选AC.
10.答案：ACD
解析：对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则，其中，，则，A正确；
对于B，随机变量x服从正态密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误；
对于C，因为，当且仅当时取等号，因此当时，，C正确；
对于D，，说明生产线甲抽到质量大于的可能性很低，则随机抽取两包质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确.故选ACD.
11.答案：0.14
解析：因为，所以，所以.
12.答案：
解析：根据正态曲线的对称性，每个安检入口超过1100人的概率.所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率.
13.答案：0.4
解析：因为服从正态分布，即正态曲线的对称轴为直线，根据正态曲线的对称性，可知在与取值的概率相同，所以在内取值的概率为0.4.
14.答案：8
解析：因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，
所以.
所以该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8.
15.答案：（1）
（2）80
（3）①4442人
②
解析：（1）由频率分布直方图，得，
解得.
（2）由频率分布直方图，得前3组的频率为，
前4组的频率为，
所以中位数恰好为80，
则估计这600名学生成绩的中位数为80.
（3）①由题意得，
所以，则，
所以，
故估计竞赛成绩超过86.8分的学生约有4442人.
②由①得，则，
所以随机变量，所以.