4.3.1 一元线性回归模型——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3.1 一元线性回归模型——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 322.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 19:23:57 | ||
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文档简介
4.3.1 一元线性回归模型
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的大小以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：
脚长 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
欧码 35.5 36 36.5 37.5 38 38.5 39 40 40.5 41 42
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为.已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为( )
A.36码 B.36.5码 C.38码 D.39码
2.根据一组样本数据，，…，的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的随机误差为( )
A.54.55 B.2.45 C.3.45 D.111.55
3.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（单位：百件）( )
x 20 25 30 35 40
y 5 7 8 9 11
A.12 B.12.5 C.13 D.11.75
4.在一项调查中有两个变量x和y，由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图如图，那么最适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是( )
A. B.
C. D.
5.如图是变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则( )
A. B. C. D.
6.某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：
加工零件个数x 10 20 30 40 50
加工时间y（分） 64 69 75 82 90
经检验，这组样本数据的两个变量x与y具有线性相关关系，那么对于加工零件个数x与加工时间y这两个变量，下列判断中正确的是( )
A.负相关，其回归直线经过点 B.正相关，其回归直线经过点
C.负相关，其回归直线经过点 D.正相关，其回归直线经过点
7.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其回归直线方程是.预测广告费用投入10万元时，估计该产品的市场销售量y约为( )
A.6.1万台 B.5.5万台 C.5.2万台 D.6万台
8.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得回归直线方程，则( )
A.-2 B. C.3 D.
9.（多选）2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
x 90 95 100 105 110
y 11 10 8 6 5
用最小二乘法求得y关于x的回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有( )
A.变量x与y负相关且相关性较强 B.
C.当时， D.相应于点的残差为-0.4
10.（多选）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表.现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则下列说法正确的是( )
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 38 44
A.看不清的数据★的值为34
B.回归直线必经过点（4，★）
C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨
D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨
11.某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/(℃) 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为___________.
12.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了如表所示的一组试验数据.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：
①；②；③；④；⑤.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__________.（填序号）
13.2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的这种商品的价格x（单位：元/件）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格x 8 9.5 m 10.5 12
销售量y 16 n 8 6 5
经分析知，销售量y（件）与价格x（元/件）之间有较强的线性关系，其线性回归方程为，且，则__________.
14.为了研究某疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表所示.
调查人数x 300 400 500 600 700
调查人数y 3 3 6 6 7
并求得y与x的回归直线方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为__________.（疫苗的有效率为，结果保留3位小数）
15.如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图.
（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归直线方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.
相关公式：，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考数据：，.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码.故选C.
2.答案：B
解析：把代入，得，所以在样本点处的随机误差为.故选B.
3.答案：D
解析：因为，，所以回归直线过点，故，即，所以.将代入中，得.故选D.
4.答案：B
解析：由于题图中的点分布在一条曲线附近，因此排除选项A，根据题图中的点y值的增长速度越来越慢，排除选项C，D，故选B.
5.答案：A
解析：观察题中散点图可知，变量x和y呈正相关，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近1.所以.
6.答案：D
解析：由题表中数据可得y随x的增大而增大，故y与x正相关.又，，所以样本点的中心为，而回归直线过样本点的中心，因此其回归直线经过点，故选D.
7.答案：B
解析：由题意知，.将代入，即，解得，即，将代入，得.故选B.
8.答案：B
解析：由已知可得，，将代入，得，所以，则，即.故选B.
9.答案：ABD
解析：对于A，由回归直线可得变量x与y线性负相关，且由相关系数可知相关性较强，故A正确；
对于B，由题可得，，，因为回归直线恒过点，所以，解得，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，相应于点的残差，故D正确.
故选ABD.
10.答案：AD
解析：设看不清的数字为a，由题表可知，，，将代入回归直线方程中，得，解得，所以.所以看不清的数据★的值为34，A正确；
又回归直线过样本点的中心，B错误；
回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预计增加6.3吨，C错误；
当时，，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨，D正确.故选AD.
11.答案：
解析：由题意知更正后，，，，所以，.所以更正后的回归直线方程为.
12.答案：④
解析：由题表中的数据可画出散点图如图所示.
由图可知上述点集中在函数的图象附近，故选择可以近似地反映这些数据的规律，故填④.
13.答案：10
解析：由题表中的数据，得，，
将代入，得，即，
所以，
又因为，
所以，.
14.答案：0.817
解析：，，则，则y关于x的回归直线方程为.当时，，故，由题意可得.则该疫苗的有效率为.
15.答案：（1），可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2）5.5吨
解析：（1）由折线图可得，，
，，，
所以相关系数.
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）知，，
所以回归直线方程为，当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册课时优化训练
1.鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的大小以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：
脚长 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
欧码 35.5 36 36.5 37.5 38 38.5 39 40 40.5 41 42
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为.已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为( )
A.36码 B.36.5码 C.38码 D.39码
2.根据一组样本数据，，…，的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的随机误差为( )
A.54.55 B.2.45 C.3.45 D.111.55
3.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得y关于x的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（单位：百件）( )
x 20 25 30 35 40
y 5 7 8 9 11
A.12 B.12.5 C.13 D.11.75
4.在一项调查中有两个变量x和y，由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图如图，那么最适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是( )
A. B.
C. D.
5.如图是变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则( )
A. B. C. D.
6.某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：
加工零件个数x 10 20 30 40 50
加工时间y（分） 64 69 75 82 90
经检验，这组样本数据的两个变量x与y具有线性相关关系，那么对于加工零件个数x与加工时间y这两个变量，下列判断中正确的是( )
A.负相关，其回归直线经过点 B.正相关，其回归直线经过点
C.负相关，其回归直线经过点 D.正相关，其回归直线经过点
7.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其回归直线方程是.预测广告费用投入10万元时，估计该产品的市场销售量y约为( )
A.6.1万台 B.5.5万台 C.5.2万台 D.6万台
8.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得回归直线方程，则( )
A.-2 B. C.3 D.
9.（多选）2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
x 90 95 100 105 110
y 11 10 8 6 5
用最小二乘法求得y关于x的回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有( )
A.变量x与y负相关且相关性较强 B.
C.当时， D.相应于点的残差为-0.4
10.（多选）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表.现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则下列说法正确的是( )
x 2 3 4 5 6
y 19 25 ★ 38 44
A.看不清的数据★的值为34
B.回归直线必经过点（4，★）
C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨
D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨
11.某种细胞的存活率y(%)与存放温度x(℃)之间具有线性相关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/(℃) 20 15 10 5 0 -5 -10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值录入有误，更正为.则更正后的回归方程为___________.
12.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了如表所示的一组试验数据.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数：
①；②；③；④；⑤.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__________.（填序号）
13.2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的这种商品的价格x（单位：元/件）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格x 8 9.5 m 10.5 12
销售量y 16 n 8 6 5
经分析知，销售量y（件）与价格x（元/件）之间有较强的线性关系，其线性回归方程为，且，则__________.
14.为了研究某疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表所示.
调查人数x 300 400 500 600 700
调查人数y 3 3 6 6 7
并求得y与x的回归直线方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为__________.（疫苗的有效率为，结果保留3位小数）
15.如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图.
（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归直线方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.
相关公式：，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考数据：，.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码.故选C.
2.答案：B
解析：把代入，得，所以在样本点处的随机误差为.故选B.
3.答案：D
解析：因为，，所以回归直线过点，故，即，所以.将代入中，得.故选D.
4.答案：B
解析：由于题图中的点分布在一条曲线附近，因此排除选项A，根据题图中的点y值的增长速度越来越慢，排除选项C，D，故选B.
5.答案：A
解析：观察题中散点图可知，变量x和y呈正相关，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近1.所以.
6.答案：D
解析：由题表中数据可得y随x的增大而增大，故y与x正相关.又，，所以样本点的中心为，而回归直线过样本点的中心，因此其回归直线经过点，故选D.
7.答案：B
解析：由题意知，.将代入，即，解得，即，将代入，得.故选B.
8.答案：B
解析：由已知可得，，将代入，得，所以，则，即.故选B.
9.答案：ABD
解析：对于A，由回归直线可得变量x与y线性负相关，且由相关系数可知相关性较强，故A正确；
对于B，由题可得，，，因为回归直线恒过点，所以，解得，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，相应于点的残差，故D正确.
故选ABD.
10.答案：AD
解析：设看不清的数字为a，由题表可知，，，将代入回归直线方程中，得，解得，所以.所以看不清的数据★的值为34，A正确；
又回归直线过样本点的中心，B错误；
回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预计增加6.3吨，C错误；
当时，，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50.9吨，D正确.故选AD.
11.答案：
解析：由题意知更正后，，，，所以，.所以更正后的回归直线方程为.
12.答案：④
解析：由题表中的数据可画出散点图如图所示.
由图可知上述点集中在函数的图象附近，故选择可以近似地反映这些数据的规律，故填④.
13.答案：10
解析：由题表中的数据，得，，
将代入，得，即，
所以，
又因为，
所以，.
14.答案：0.817
解析：，，则，则y关于x的回归直线方程为.当时，，故，由题意可得.则该疫苗的有效率为.
15.答案：（1），可用线性回归模型拟合y与x的关系
（2）5.5吨
解析：（1）由折线图可得，，
，，，
所以相关系数.
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）知，，
所以回归直线方程为，当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.