2024-2025学年数学湘教版九年级上册1.2反比例函数的图象与性质（第2课时） 教案

1.2　反比例函数的图象与性质
第2课时
1.理解和掌握反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义.
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些综合性的问题.
3.让学生自己尝试在y=的图象上任取一点P(x,y),过P点分别向x轴、y轴作垂线,从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积,从而探究所形成的矩形、三角形的面积与k的关系.
4.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.
重点:理解并掌握反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义,并能利用反比例函数性质解决问题.
难点:运用反比例函数的性质解决问题.
一、创设情境
复习:1.什么是反比例函数
2.反比例函数的图象是什么 它有哪些性质
本节课我们继续探究反比例函数的其他性质及利用图象和性质解决一些综合性问题.
二、探索归纳
(一)矩形、三角形的面积与k的关系
探究1:议一议,已知点P是反比例函数y=的图象上任意一点,过P点分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M,N,那么四边形OMPN的面积是多少 △OMP的面积是多少
师生活动:
1.学生讨论,教师及时点拨.
点的坐标与矩形长、宽(三角形的底、高)之间的关系分为两种:
(1)相等
(2)互为相反数
即:矩形长为|x|,矩形宽为|y|,三角形的底为|x|,三角形的高为|y|.
2.学生板演解题过程,教师给予纠正.
矩形OMPN的面积S=|xy|=6;
△OMP的面积S=|xy|=3.
探究2:如果解析式中的k=-3呢 所形成的矩形及三角形的面积又是多少
师生活动:
学生板演解题过程,教师给予纠正.
探究3:总结反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义.
师生活动:
引导学生根据k的正负研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
教师板书:反比例函数y=(k≠0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积S=|xy|=|k|,三角形的面积S=|xy|=|k|.
(二)反比例函数性质的应用
问题:已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4).
(1)求k的值,并写出该函数的表达式.
(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上.
(3)这个函数的图象位于哪些象限 在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化
师生活动:
教师分析,学生思考:
(1)已知图象经过点P(2,4),所以把P点坐标代入表达式成立,这样能求出k,表达式也就确定了.
(2)要判断A,B是否在这个函数图象上,就是把A,B的坐标代入函数表达式中,如能使表达式成立,则这个点就在函数图象上,否则不在.
(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
例1:如图是反比例函数y=的图象.根据图象,回答下列问题:
(1)k的取值范围是k>0还是k<0 说明理由.
(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.
师生活动:
教师分析,学生思考:
(1)由图象可知,反比例函数y=的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.
(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,且-3<0,-2<0,所以点A,B都位于第三象限.又因为-3<-2,由反比例函数图象的性质可知:y1>y2.
例2:已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4),求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解:设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y=k1x,y=,其中k1,k2是常数,且均不为0.
由于这两个函数的图象交于点P(-3,4),则点
P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=,解得k1=-,k2=-12.
所以,正比例函数表达式为y=-x,反比例函数表达式为y=-.函数图象如图.
三、交流反思
1.矩形面积S=|xy|=|k|;三角形的面积S=|xy|=|k|.
2.根据反比例函数的性质可以比较大小,确定k的取值范围等.
四、检测反馈
1.如图,A是反比例函数y=的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是(　　)
A.3 B.-3 C.6 D.-6
2.函数y=-的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0A.y1B.y1>y2
C.y1=y2
D.y1,y2的大小不确定
3.一个反比例函数在第三象限的图象如图所示,若A是图象上任意一点,AM⊥x轴于M,O是原点,如果S△AOM=3,求这个反比例函数的表达式.
4.已知点P(2,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值.
(2)当1五、布置作业
六、板书设计
1.2　反比例函数的图象与性质 第2课时
k的几何意义 应用 应用
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
教学中,要想让学生真正掌握求函数表达式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.那么学生掌握的会很好.
优点:认识反比例函数中k的几何意义时,由浅入深,循序渐进,符合学生的认知规律.
缺点:应该多设计一些变式问题,巩固学生对反比例函数性质的认识.