2024-2025学年数学湘教版九年级上册1.3反比例函数的应用 教案

1.3　反比例函数的应用
1.能利用反比例函数的性质解决实际问题.
2.能够依据实际问题建立反比例函数模型.
3.通过解决实际问题,体会反比例函数图象和性质在解决问题中的作用.
重点:反比例函数的图象与性质的应用.
难点:将实际问题抽象为数学问题,建立反比例函数模型.
一、创设情境
回顾与思考:反比例函数的图象和性质是什么 (通过课件展示,并找学生回答)
引入:反比例函数在实际生活中有着广泛的应用,今天我们就来探讨一下反比例函数的应用问题(板书课题)
二、探索归纳
问题1　某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速地通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗
(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗
(2)如人对地面的压力F=450 N,完成下表:
受力面积S /m2 0.005 0.01 0.02 0.04
压强p /Pa
(3)当F=450 N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.
师生活动:
1.多媒体给出情境材料,引起学生的兴趣,体现数学的现实性.
2.问题(1)(2)给学生留出一定的时间后,让学生举手回答,问题(3)让学生讨论后回答.
3.要启发学生思考:为什么只需在第一象限作函数图象 此外,还要注意单位长度所表示的数值.在(3)中,要留有充分时间让学生交流,领会实际问题的数学意义,体会数与形的统一.
4.问题(3)老师和学生一起对所画图象进行点评,使学生明白画图象时要注意的问题.
解:(1)对于p=,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.
(2)因为F=450 N,所以当S=0.005 m2时,由p=得:p=450/0.005=90 000(Pa).类似的,
当S=0.01 m2时,p=45 000 Pa;当S=0.02 m2时,p=22 500 Pa;当S=0.04 m2时,p=
11 250 Pa.
(3)当F=450 N时,该反比例函数的表达式为p=,它的图象如图所示,由图象及性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积,以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.
问题2　你能根据波义耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数k(k>0),即pV=k)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸
师生活动:
先由学生小组讨论,然后由小组代表回答,最后教师引导总结:
解:由pV=k可得p=,所以p是V的反比例函数,当使劲踩气球时,随着气球体积减小,气体的压强p增大,所以气球会爆炸.
例　已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式:U=IR,且该电路的电压U恒为220 V.
(1)写出电流I关于电阻R的函数表达式.
(2)若该电路的电阻为200 Ω,则通过它的电流是多少
(3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器,怎样调整电阻R,就可以使电路中的电流I增大
师生活动:
先由学生独立思考,然后小组交流,最后由两个小组代表进行展示,其他同学可以质疑,教师适时指引、点拨.
解:(1)因为U=IR,且U=220 V,所以IR=220,即该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为I=.
(2)因为该电路的电阻R=200 Ω,所以通过该电路的电流I==1.1(A).
(3)根据反比例函数的图象及性质可知,当滑动变阻器的电阻R减小时,就可以使电路中的电流I增大.
三、交流反思
通过问题的解决,让学生体会到建立反比例函数模型,是将实际问题抽象为数学问题的关键.
四、检测反馈
1.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x cm,长为y cm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是(　　)
2.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是(　　)
3.一个水池装水12 m3,如果从水管中每小时流出x m3的水,经过y h可以把水放完,那么y与x的函数关系式是__________,自变量x的取值范围是__________.
4.学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带,矩形的面积为定值,它的一边y与另一边x之间的函数关系式如图所示.
(1)绿化带面积是多少 你能写出这一函数表达式吗
(2)完成下表,并回答问题:如果该绿化带的长不得超过40 m,那么它的宽应控制在什么范围内
x(m) 10 20 30 40
y(m)
五、布置作业
六、板书设计
1.3　反比例函数的应用
问题1 …… …… 问题2 …… …… 例 …… ……
七、教学反思
本节教材内容是前两节知识的应用,通过学习使学生能利用反比例函数的性质进行解答,提高学生用数学解决实际问题的能力.
优点:在教学中以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养了学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.
缺点:教学中没有向学生渗透归纳类比的思想方法,学生的数形结合的思想方法以及抽象思维能力的提高不够.