2024-2025学年数学湘教版九年级上册2.1一元二次方程 教案

第2章　一元二次方程
2.1　一元二次方程
1.掌握一元二次方程的定义及其相关概念,并会应用它们解决问题.
2.经历由具体问题分析数量关系建立一元二次方程模型的过程,体会数学建模思想.
3.通过设置问题,得出一元二次方程概念的过程,提高学生建立模型的能力.
4.发展学生问题能力、实践能力与创新意识.
重点:一元二次方程及其有关概念.
难点:把实际问题转化为一元二次方程的模型.
一、创设情境
问题1　已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm,现在矩形中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程(其中π取3)
问题2　据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
二、探索归纳
问题1
师生活动:教师引导,学生思考
1.剩余部分的面积是多少
解:200×150×
2.挖去的圆的半径为x cm,剩余部分的面积如何表示
解:200×150-3x2
3.等量关系是什么
解:矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×
4.如何列方程
解:列出方程:200×150-3x2=200×150×
5.化简整理,得到右边为0,而左边是只含有一个未知数的方程
解:x2-2 500=0
问题2
师生活动:教师引导,学生思考
1.等量关系是什么
等量关系:两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长量)
2.如何列方程
列出方程:75(1+x)2=108
3.化简整理,得到右边为0,而左边是只含有一个未知数的方程
25x2+50x-11=0
利用多媒体展示问题1和问题2所列出的两个方程
师:请同学们观察由问题1和问题2所列出的两个方程:x2-2 500=0
　25x2+50x-11=0
回答:
1.观察这两个方程的结构特点,它们的未知数的个数和最高次数各是多少 它们有什么共同点
2.这两个方程与一元一次方程有什么区别 由此,你能得到关于一元二次方程的特征吗
3.根据这个特征,你能给一元二次方程下个定义吗
(生:思考中.师:板书课题.)
结论:
一元二次方程的概念
定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫作一元二次方程.(师:板书一元二次方程的定义)
师:根据这个定义,我们能识别一元二次方程吗 (多媒体展示例题,并引导学生完成例题的解答.)
例1:判断下列方程哪些是一元二次方程
(1)3x2+4x-2=0;　(2)x2-2x+3=6x-1;
(3)7-x3=x+x2;　(4)x2-2xy-4=0.
引导学生根据一元二次方程的定义判定.
师:我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0(a≠0),那么一元二次方程的一般形式是什么呢 (师引导生回答出一元二次方程的一般形式并板书.)
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
师:在一元二次方程的一般形式中,为什么要将a限定为a≠0
师:假如给你一个一元二次方程,该怎样确定它的系数及常数项呢 (多媒体展示例2并板书例2的解答过程)
例2:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(师引导学生完成解答过程)
三、交流反思
引导学生归纳一元二次方程有三个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)且未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
四、检测反馈
1.下列方程是一元二次方程的是(　　)
A.+=1
B.(x+2)(x-3)=x2+1
C.(x+1)(x2-x+1)=x3-x2
D.(2x2-1)2-1=0
2.方程(m-2)x|m|+(m-3)x+5=0
(1)当m=__________时,是一元二次方程.
(2)当m=__________时,是一元一次方程.
3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)9x2=5-4x
(2)(2-x)(3x+4)=3
4.根据题意列出一元二次方程:已知直角三角形的三边长为连续整数,求它的三边长.
五、布置作业
六、板书设计
2.1　一元二次方程
问题 一元二次方程的概念 例题
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
本节课以问题为主线,体现“自主——合作——探究”的学习方式.由两个实际问题引出一元二次方程的具体方程,引导学生观察得到的方程,根据它们的共同点,给出一元二次方程的定义,学习效果良好.
优点:教学中强调概念的一般性与具体例子之间的联系,使学生认识到一元二次方程有广泛的实际背景,它可以作为许多实际问题的数学模型.
缺点:认识一元二次方程的一般形式中的a为什么不能等于0时,我觉得教学中缺少学生的自我领悟,也就是缺少一个合理的学生活动的过程.