2024-2025学年数学湘教版九年级上册2.5一元二次方程的应用(第1课时) 教案

2.5　一元二次方程的应用
第1课时
1.会用一元二次方程解决一些常见的增长(降低)率问题.
2.掌握列一元二次方程解应用题的一般方法.
3.让学生在经历运用一元二次方程解决问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.
重点:建立一元二次方程模型解决一些增长率和销售利润的问题.
难点:把一些实际问题化归为解一元二次方程的问题.
一、创设情境
列方程解应用问题的步骤是什么
①审题,②设未知数,③列方程,④解方程,⑤答.
二、探索归纳
问题1　某省农作物秸秆资源巨大,但合理使用量十分有限,因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率,若今年的使用率为40%,计划后年的使用率达到90%,求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变).
引导学生完成下列问题:
1.问题中的已知量和未知量分别是什么
今年的使用率为40%,后年的使用率为90%是已知量;这两年秸秆使用率的年平均增长率是未知量.
2.设秸秆使用率的年平均增长率为x,则明年的使用率是多少 后年的使用率是多少
解:明年的使用率是1+x,后年的使用率是(1+x)2.
3.问题的等量关系是什么
解:今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率.
4.根据题意列出方程是什么
解:设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x,则根据等量关系,可列出方程:40%(1+x)2=90%
解得:x1=50%,x2=-2.5,
根据题意可知:x=50%,
答:这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%.
问题2　为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.
引导学生完成下列问题:
1.问题中的已知量和未知量分别是什么
某药品每瓶原价100元,现价81元是已知量;平均每次降价的百分率是未知量.
2.设平均每次降价的百分率为x,则第一次降价后的售价是多少 第二次降价后的售价是多少
解:第一次降价后的售价是100(1-x),第二次降价后的售价是100(1-x)2
3.问题的等量关系是什么
解:原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现在的售价.
4.根据题意列出方程是什么
解:设平均每次降价的百分率为x,则根据等量关系,可列出方程:100(1-x)2=81,
解得:x1=10%,x2=1.9,
根据题意可知:x=10%,
答:平均每次降价的百分率为10%.
问题3　“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些
结论:运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤:
分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.
三、交流反思
增长率问题中的等量关系:
原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现在的售价
四、检测反馈
1.一件商品的原价是121元,经过两次降价后的价格为100元.如果每次降价的百分率都是x,根据题意列方程得__________.
2.某小区2021年屋顶绿化面积为2 000平方米,计划2023年屋顶绿化面积要达到2 880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是多少
3.某电脑公司2022年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2024年经营总收入要达到2160万元,且计划从2022年到2024年,每年经营总收入的年增长率相同,问2023年预计经营总收入为多少万元
五、布置作业
六、板书设计
2.5　一元二次方程的应用　第1课时
导入 问题 结论
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七、教学反思
《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关,在解决增长率问题时,要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系,掌握其规律,还应注意各种数据变化的基础,针对本节课的内容,设计了各个小问题,让学生在探讨、练习中完成所学内容.
优点:教学中把问题分解成几个小问题,不仅降低问题的难度,还让学生学会解读问题中的关键字词,正确理解题意,找出等量关系,列出方程,解决问题,学生学习效果良好.
缺点:本节课的教学设计,没有对应的例题变式,学生不会灵活解决相应的变式问题.