2024-2025学年数学湘教版九年级上册2.5一元二次方程的应用(第2课时)教案

2.5　一元二次方程的应用
第2课时
1.会建立一元二次方程的模型解决有关面积的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的合理性作出解释.
2.进一步培养学生建模思想,提高学生的数学应用意识.
重点:应用一元二次方程解决有关面积的实际问题.
难点:从实际问题中建立一元二次方程的模型.
一、创设情境
1.复习列方程解应用题的一般步骤:
(1)审题:仔细阅读题目,分析题意,明确题目要求,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系.
(2)设未知数:用字母(如x)表示题中的未知数,通常是求什么量,就设这个量为x.
(3)列方程:根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程.
(4)解方程:求出所给方程的解.
(5)检验:既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程,又要检验它是否能使实际问题有意义.
(6)作答:根据题意,选择合理的答案.
2.说一说,矩形的面积与它的两邻边长有什么关系
二、探索归纳
问题1　如图,在一长为40 cm,宽为28 cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后,折成一个无盖的长方体盒子,若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米,求截去的四个小正方形的边长.
引导学生完成下列问题
1.设小正方形的边长为x cm,则底面的长为多少 宽为多少
解:底面的长为(40-2x) cm,底面的宽为(28-2x) cm.
2.问题的等量关系是什么 根据题意,列出的方程是什么
解:等量关系是:盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽
方程:(40-2x)(28-2x)=364.
3.方程的解是x=27,符合题意吗 为什么
解:不符合,27+27=54>40,所以不存在.
问题2　如图,一长为32 m,宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化,若已知绿化面积为540 m2,求道路的宽.
教师引导学生分析:
1.如何把不规则的图形变为规则图形
解:利用平移可以把不规则的图形变为规则图形.
2.设道路宽为x米,则所有绿化面积之和是多少
解:所有绿化面积之和是(32-x)(20-x)平方米.
3.你会根据题意考虑根的合理性,确定根的取舍吗
解:设道路宽为x米,
(32-x)(20-x)=540,
解得:x1=2,x2=50(不合题意,舍去),
∴x=2,
答:道路宽为2米.
变式
1.如图,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为3∶2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,若横路宽为3x cm,则可列方程为__________.
2.小明家有一块长8 m,宽6 m的矩形空地,现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分),并使花园面积为空地面积的一半,小明设计了如图的方案,求图中的x值.
问题3　如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动,同时点Q沿CB边从C向终点B以2 cm/s的速度移动,且当其中一点达到终点时,另一点也随之停止移动,问点P,Q出发几秒后,可使△PCQ的面积为9 cm2
解:设x s后,可使△PCQ的面积为9 cm2.
由题意得,AP=x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm,
则×(6-x)·2x=9.
整理,得x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.
所以P,Q同时出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm2.
三、交流反思
1.通过例题的学习,让学生学会利用一元二次方程解决有关面积的问题,进一步提高了学生的分析问题、解决问题的能力.
2.让学生体会到方程的思想在解应用题中的用途.
四、检测反馈
1.在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是(　　)
A.x2+130x-1 400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1 400=0
D.x2-65x-350=0
2.我校原有一块正方形空地,后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,使剩余的空地面积为12 m2,求原正方形的边长.
3.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45 m),用80 m长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2
(2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2,为什么
五、布置作业
六、板书设计
2.5　一元二次方程的应用 第2课时
复习 问题 问题
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
这节课是“用一元二次方程解决几何问题”,讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景,让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系,归纳出变化规律,并能用数学符号表示,最终解决实际问题.问题的设置,让学生由浅入深,由易到难,也让学生解决问题的能力逐级上升,在讲完例题的基础上,进行变式巩固.
优点:教学设计中把问题分解成几个小问题,不仅降低问题的难度,还让学生学会解读问题中的关键字词,正确理解题意;教学设计中通过例题变式的环节,让学生学会灵活思考问题.
缺点:教学设计中缺少激发学生学习积极性的环节.