2024-2025学年数学湘教版九年级上册 3.4.2相似三角形的性质 教案

3.4.2　相似三角形的性质
1.理解相似三角形的对应线段的比、面积比与相似比的关系.
2.会运用相似三角形对应线段的比、面积比与相似比的关系解决有关问题.
3.通过相似三角形性质的学习,培养学生类比、归纳思想及特殊到一般的认识规律.
重点:理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比,面积比等于相似比的平方.
难点:相似三角形判定和性质的综合运用.
一、创设情境
复习:已知△ABC∽△A'B'C',可以推出哪些结论 (从对应边上看;从对应角上看.)
问:两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论
二、探索归纳
1.相似三角形对应线段的比.
(1)如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系.
∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.
又∵AD,A'D'是高,∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.
∴△ADB∽△A'D'B',∴==k.
师生活动:学生思考,小组交流探究2~3分钟,安排学生先自行思考与交流,
培养学生分析概括数学材料的能力与数学语言表达能力.然后与老师共同完成解答过程,得出结论,证明的过程通过老师书写出来,培养学生规范书写证明过程的习惯.
结论:相似三角形对应高的比等于相似比
(2)和全等三角形类似我们可以把对应高改成哪些对应元素 (小组讨论)
变化一:如果把对应的高改为对应边上的中线
变化二:如果把对应的高改为对应角的角平分线
师生活动:此处两个变化的证明过程都由学生来完成
结论:相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.
对应练习:
1.判断题
(1)相似三角形的中线比等于相似比.(　　)
(2)两个三角形的边长之比等于高之比.(　　)
2.填空题
(1)已知△ABC∽△A'B'C'的相似比为2∶3,则它们对应中线的比为__________;
(2)已知两个相似三角形对应高的比是4∶1,则它们的对应角平分线的比是__________.
2.相似三角形面积的比.
如图,△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'为高线,相似比为k,
(1)两个相似三角形周长比为多少
(2)两个相似三角形面积比为多少
师生活动:我们已经知道相似三角形对应线段的比等于相似比,可将三角形的面积往对应线段上转化,由学生写出问题的计算过程.
教师板书,结论:相似三角形面积的比等于相似比的平方.
利用对应高之比等于相似比进行证明,这是性质的运用,要教会学生直接使用性质进行解决问题.
三、交流反思
相似三角形的性质:
1.相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
四、检测反馈
1.△ABC∽△A'B'C',相似比为3∶2,则对应中线的比等于__________.
2.相似三角形对应角平分线的比为0.2,则相似比为__________,周长比为__________,面积比为__________.
3.若两个相似三角形的最大边长分别为35 cm和14 cm,它们的周长差为60 cm,则较大三角形的周长是多少
4.如图,已知在△ABC中,DE∥BC,AB=20 cm,BD=12 cm.△ABC的周长为80 cm,面积为100 cm2,求△ADE的周长和面积.
五、布置作业
六、板书设计
3.4.2　相似三角形的性质
对应线段的比 面积比 练习
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
本节详细探究了相似三角形对应高的比,之后给学生一定的时间,小组探究完成对应中线,对应角平分线的比,有利于培养学生的交流能力,体会类比的数学思想.学生板演证明的过程,教师进行点评,并及时的鼓励,有助于提高学生学习的兴趣.
优点:教学中,运用类比的思想由相似三角形对应高的比等于相似比,推出对应中线、角平分线的比等于相似比,然后利用由特殊到一般进行归纳总结得出对应线段的比等于相似比.符合学生的认知规律,便于学生归纳得出一般结论.