2024-2025学年数学湘教版九年级上册4.1正弦和余弦　第1课时 教案

第4章　锐角三角函数
4.1　正弦和余弦
第1课时
1.探究得到“当直角三角形的锐角不变时,它的对边与斜边的比值是一个常数”的事实.
2.了解正弦的概念,知道特殊角30°的正弦值,并能根据正弦的相关概念进行计算.
3.通过具体实例,引导学生比较、分析,得出“当直角三角形的锐角不变时,它的对边与斜边的比值是一个常数”的结论;
4.逐步培养学生的观察、比较、分析、概括等思维能力.
重点:了解正弦的概念,知道特殊角30°的正弦值,并能根据正弦的相关概念进行计算.
难点:当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值不变.
一、创设情境
一艘轮船从西向东航行到B处时,灯塔A在船的正北方向,轮船继续从B处向正东方向航行2 000 m到达C处,此时灯塔A在船的北偏西65°的方向.试问:C处和灯塔A的距离AC约等于多少米(精确到10 m)
二、探索归纳
(一)正弦
每位同学画一个直角三角形,动手操作,探究直角三角形中,65°角A的对边与斜边的比值有什么规律
师生活动:
1.画一画:每位同学画一个直角三角形,其中一个锐角为65°.
2.量一量:量出65°角的对边长度和斜边长度.
3.算一算:=__________.
4.展示:每位同学计算的比值是否相等(精确到0.01) 你从以上事实发现了什么
5.猜想:65°角的对边与斜边的比值为一个常数.
若把65°的角换成任意一个锐角,这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
1.推理证明:老师引导学生画图,用相似三角形进行证明.
2.结论:正弦的定义:在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦,记作sin α,即sin α=,sin A=.
3.注意:sin α是一个完整的符号,不要误解成sin×α,今后所学的其他的三角函数符号也是这样.
(二)特殊角30°的正弦值
∠A=30°
1.回忆:在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系是什么
2.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求30°的正弦值.
3.你有什么发现
结论:sin 30°=.
(三)应用迁移,巩固提高
例1　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.
(1)求sin A的值.(2)求sin B的值.
解:(1)∠A的对边BC=3,斜边AB=5,于是sin A==.
(2)∠B的对边AC,根据勾股定理,得AC2=AB2-BC2=52-32=16.于是AC=4.
因此sin B==.
师生活动:以学生自学为主,提出疑问,师生共同讨论解决.
练一练:教材111页练习1
鼓励学生独立完成,教师个别辅导.
小结:在直角三角形中求锐角的正弦的步骤:先画图找角,然后找角的对边和斜边,再计算对边和斜边的比值.
例2　解决情境导航中的问题:现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约为多少米的问题吗
师生活动:引导学生先求出直角三角形的斜边AC的长,进而解决情境中提出的问题.
三、交流反思
在直角三角形中,求一个角的正弦值只需要用该角所对的直角边比斜边,如果所对直角边或斜边长未知时,可首先通过勾股定理求解出长度.
四、检测反馈
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,则sin A的值是(　　)
A.　　　 B.
C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,则AB=__________.
3.在Rt△ABC中,若∠C=90°,BC=4,sin B=,则AB=__________.
4.如图,角α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(3,4),则sin α=__________.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=AB,求sin B的值.
五、布置作业
六、板书设计
4.1　正弦和余弦
正弦 30°的正弦值 例
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
通过本节课的学习,学生发现当直角三角形的锐角不变时,它的对边与斜边的比值一个常数,并且了解正弦的概念,知道特殊角30°的正弦值,并能根据正弦的相关概念进行计算.
优点:1.采用问题式教学,让学生解决每个小问题的过程中,探究得到正弦的定义.2.教学中体现学生为主,教师引导的原则.在教师的引导下,学生能主动思考.3.在处理教材上,思路清晰,难易把握适中.
缺点:在重点知识的强调上稍快,给学生的思考和发挥的空间不足.比如学生探究得到正弦定义时,应该让学生给出完整的结论.这样学生才能进行充分的独立思考,并能调动学生的积极性.