2024-2025学年数学湘教版九年级上册4.4解直角三角形的应用　第1课时 教案

4.4　解直角三角形的应用
第1课时
1.了解仰角、俯角的概念.
2.会利用解直角三角形解决与视角有关的实际问题,逐步培养分析问题、解决问题的能力.
3.使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
重点:善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
难点:根据实际问题构造合适的直角三角形.
一、创设情境
在日常生活中,我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题,我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决.
某探险者某天到达如图所示的点A处时,他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗
二、探索归纳
1.先把实物图抽象,并构造出直角三角形.
师生活动:引导学生一起把实景图抽象成下图,教师点拨,学生动手.
2.分析图形中线段表示的含义.
如图所示,BD表示点B的海拔,AE表示点A的海拔,AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE,再测出仰角∠BAC,然后用锐角三角函数的知识就可求出A,B两点之间的水平距离AC.
师生活动:学生思考,教师解释,然后根据学生理解的情况,找学生口答.
3.仰角和俯角
向上的视线与水平线的夹角叫作仰角,向下的视线与水平线的夹角叫作俯角.
教师指定学生辨认仰角和俯角,强调它们的区别.
4.应用
如果测得点A的海拔AE为1 600 m,仰角∠BAC=40°,求出A,B两点之间的水平距离AC(结果保留整数).
学生上台展示:
∵BD=3 500 m,AE=1 600 m,AC⊥BD,∠BAC=40°,
∴BC=BD-AE=1 900 m.
在Rt△ABC中,tan∠BAC=,AC==≈2 264 m,
因此,A,B两点之间的水平距离AC约为2 264 m.
5.巩固提升
例1　如图所示,在离上海东方明珠塔底部1 000 m的A处,用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°,仪器距地面高AE为1.7 m.求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1 m).
解:在Rt△ABC中,∠BAC=25°,AC=1 000 m,
则tan 25°==,
所以BC=1 000×tan 25°≈466.3,
因此,上海东方明珠塔的高度
BD=466.3+1.7=468(m).
答:上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
师生活动:学生解释图形中线段和角表达的意思,理解题意;教师引导学生构造直角三角形,运用解直角三角形的知识解决实际问题;教师板书过程,强调思考问题的方法.
设计意图:熟悉俯角、仰角的概念(都是视线与水平线的夹角),在解直角三角形题的基础上,稍加难度,学会用解直角三角形的相关知识,解决实际问题.
三、交流反思
解直角三角形的应用题一般步骤:
(1)将实物图形转化为几何图形.
(2)将自然语言转化为数学语言.
(3)解直角三角形,求得解.
(4)总结作答.
四、检测反馈
1.一艘游船在离开码头A后,以和河岸成30°角的方向行驶了500 m到达B处,求B处与河岸的距离BC.
2.某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所成的夹角∠ABN、∠ACN分别为8°和15°,大灯A与地面的距离为1 m,求该车大灯照亮地面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 m).
五、布置作业
六、板书设计
4.4　解直角三角形的应用
问题 仰角和俯角 例
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
有些关于图形的实际问题,我们可以结合已知条件,恰当地构造出直角三角形,画出图形,将实际问题转化为解直角三角形的问题.
优点:教学中,注重认识图形理解题意,强调思考问题的方法,学生学习效果较好.
缺点:对于仰角、俯角的概念,教学设计中安排不当,练习题数量太少,对水平线概念强调不完整;对于例题提高了要求,要求画出图形,再解答,又耽误了时间.