2024-2025学年数学湘教版九年级上册4.4解直角三角形的应用　第2课时 教案

4.4　解直角三角形的应用
第2课时
1.了解测量中坡度、坡角的概念.
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关实际问题.
3.经历用解直角三角形解决实际问题的过程,进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
重点:理解坡度与坡角,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关实际问题.
难点:根据实际问题构造合适的直角三角形
一、创设情境
如图,从山脚到山顶有两条路AB与BD,问哪条路比较陡
右边的路BD陡些.
如何用数量来刻画哪条路陡呢
二、探索归纳
1.学生通过自主预习教材P127-P128
2.学生独立完成下列问题.
如图,从山坡脚下点P上坡走到点N时,升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长)的比叫做__________,用字母i表示,即i=__________,坡度通常写成1∶m的形式.
图中的∠MPN叫做__________,显然坡度等于坡角的__________.
即i=__________.
坡度越大,山坡越陡.
3.小组讨论,教师明确答案.
4.得到结论
如图所示,从山坡脚下点A上坡走到点B时,升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度,用字母i表示,即i=(坡度通常写成1∶m的形式).
在图形中,∠BAC叫作坡角(即山坡与地平面的夹角),记作α,显然,坡度等于坡角的正切,即i==tan α.
坡度越大,山坡越陡.
5.应用
例2:如图,一山坡的坡度为i=1∶2,小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度 小刚上升了多少米 (角度精确到0.01°,长度精确到0.1米)
分析:已知山坡的坡度为1∶2,其实就是告诉我们=1∶2,即tan A=.由此可得出∠A的度数;又知AC的长,要求BC的长,可以利用∠A的正弦值求得.
解:由题意可得tan A=i==0.5,因此∠A≈26.57°,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=26.57°,AC=240 m,所以sin A==.
所以BC=240×sin 26.57°≈107.3(m).
答:这座山坡的坡角约为26.57°,小刚上升了约107.3 m.
例3:如图,一艘船以40 km/h的速度向正东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行1 h到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全
师生活动:教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题.学生独立完成.
有些关于图形的实际问题,我们可以结合已知条件,恰当地构造出直角三角形,画出图形,将实际问题转化为解直角三角形的问题.
三、交流反思
坡度其实就是坡角的正切,因此知道了坡度,就可以利用锐角三角函数,求出坡角的度数,从而也能求得山坡的高度或水平长度.
四、检测反馈
1.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度i=1∶,山坡长为240米,南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A (将山路AB,AC看成线段,结果保留根号)
2.日本福岛发生核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海监船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图,上午9时,海监船位于A处,观测到某港口城市P位于海监船的北偏西67.5°方向,海监船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海监船到达B处,这时观察到城市P位于海监船的南偏西36.9°方向,求此时海监船所在B处与城市P的距离.
(参考数据:sin 36.9°≈0.600,tan 36.9°≈0.751,sin 67.5°≈0.924,tan 67.5°≈2.414)
五、布置作业
六、板书设计
4.4　解直角三角形的应用
坡度 例2 例3
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七、教学反思
通过本节课的学习,使学生知道坡度、坡角的概念,能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题,特别是与梯形有关的实际问题,懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
优点:让学生弄清了坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义,明确各术语与示意图中的什么元素对应,又引导学生认真分析了题意、画图并找出要求的直角三角形,或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题,学生学习效果较好.
缺点:对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽,教学中教师缺少强调,没有引起学生的重视.