湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高三下·岳阳月考）若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024高三下·岳阳月考）已知复数z＝（1+i） （m﹣2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．0＜m＜2 C．﹣2＜m＜2 D．m＜﹣2
3．（2024高三下·岳阳月考）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三下·岳阳月考）抛物线y＝x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，﹣）
5．（2024高三下·岳阳月考）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三下·岳阳月考）某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h）如下：
原料时间工序 A B C
复型 9 16 10
上漆 15 8 14
则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（ ）
A．43 h B．46 h C．47 h D．49 h
7．（2024高三下·岳阳月考）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣1（ω＞0）在()上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·岳阳月考）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝cos2x+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）的最大值为
D．f（x）在区间上单调递减
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．（2024高三下·岳阳月考）大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一
B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
10．（2024高三下·岳阳月考）已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径AC=，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．△SAB面积的最大值为
C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为
D．若B是的中点，则（SF+CF）2的最小值为
11．（2024高三下·岳阳月考）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（其中x1＞0），则下面说法正确的是（ ）
A．若p＝2，则x1x2＝﹣4 B．若y1y2＝1，则p＝2
C．若p＝2，则 D．若p＝2，则
12．（2024高三下·岳阳月考）已知矩形ABCD中，，△ABD沿着BD折起使得形成二面角A'﹣BD﹣C，设二面角A'﹣BD﹣C的平面角为θ，则下面说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，A'、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π
B．存在θ，使得A'B⊥CD
C．当时，
D．当时，直线A'C与直线BD的夹角为45°
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．（2024高三下·岳阳月考）曲线f（x）＝xex﹣3x+1在点（0，1）处的切线方程是 （结果用一般式表示）．
14．（2024高三下·岳阳月考）已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足（k＝0，1，2， ），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为 ．
15．（2024高三下·岳阳月考）近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为 ．
16．（2024高三下·岳阳月考）已知函数 在x∈[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（共6小题，每题70分）
17．（2024高三下·岳阳月考）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求△ABC的面积．
18．（2024高三下·岳阳月考）已知等差数列{an}满足an+an﹣1＝8n+2（n≥2），数列{bn}是公比为3的等比数列，a2+b2＝20．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{an}和{bn}中的项由小到大组成新的数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．
19．（2024高三下·岳阳月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为，过F1的直线m与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P，过点N作NQ⊥l于点Q．记△GPQ，△GPM，△GQN的面积分别为S，S1，S2．问是否存在实数λ，使得成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．（2024高三下·岳阳月考）已知函数f（x）＝（mx2+1）e﹣x（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）+nxe﹣x﹣1在（0，1）上有零点，且m+n＝e﹣1，求实数m的取值范围．
21．（2024高三下·岳阳月考）旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
A 路线 B 路线 合计
好 一般 好 一般
男 20 55 120
女 90 40 180
合计 50 75 300
（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A，B两条路线的选择与性别有关？
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．
附，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
22．（2024高三下·岳阳月考）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝AC，△ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形．（12分）
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）设PA＝2，存在该几何体外的一点D，使得△BCD为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
故，即共有4个元素，
故答案为：C．
【分析】本题考查集合的交集运算.先应用列举法求集合A，再解一元二次不等式可求出集合，利用集合的交集运算可求出的元素个数.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，
对应点，
由于点在第一象限，
所以，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘法运算，复数的几何意义.先利用复数的乘法运算求出，再求出对应点，根据对应点所在象限在第一象限，可列出不等式组，解不等式可求出实数的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】本题考查函数的奇偶性，充分必要条件的判定.根据为奇函数，可得，据此可列出方程，解方程可求出的值，再根据充分条件和必要条件的定义可选出答案
4．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，根据抛物线的标准方程可得，，所以，
又因为焦点坐标为，所以所求焦点坐标为，
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.根据抛物线的标准方程，可求出p的值，再利用焦点坐标公式可求出焦点坐标.
5．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可求解.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，此时完成修复工作所需时间最短，最短时间为.
故答案为：B.
【分析】本题考查分类计算原理.根据题意可得组合工序顺序为：甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，据此可求出最短时间.
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
令，解得．
，
，
函数在上恰有4个不同的零点，
则，
，解得．
故答案为：D．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据零点的定义可再把问题转化为在内有4个不同的零点，利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出实数ω的取值范围 ．
8．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A.因为，定义域为R，
所以是偶函数，A错误；
B.因为，
所以的最小正周期不是，B错误；
C.因为 ，
令 ，则 ，
所以当时，取得最大值，最大值为，C错误；
D.当，，
则，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递减，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的奇偶性，周期性，函数的最值，函数的单调性.根据奇偶性的定义可得：，据此可判断A选项；通过计算可得，利用函数周期的定义可判断B选项；化简函数解析式可得 ，令 ，换元可得：，利用二次函数的性质可求出的最大值，判断C选项；先求出导函数，利用导函数可判断的单调性，据此可判断D选项.
9．【答案】A,B,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，A符合题意；
若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，B符合题意；
平均数为（元），C不符合题意；
中位数为（元），D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用频率，频数，平均数，中位数的定义进行判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：A.圆锥的底面圆的半径，
圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，A正确；
B.如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆心，则，
，，，，
设，
则，B正确；
C.根据圆锥的结构特征可知，点在平面上的投影在上，
又为定值，则当点到直线的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
由知，此时B到平面SAC距离为，
又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，C正确；
D.当B是弧AC的中点时，，
此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，
将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
取AB的中点D，连接SC、SD，
则，，
，
，
，
当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查圆锥的表面积，圆锥的结构特征，直线与平面所成的角，利用余弦定理解三角形.根据圆锥的侧面积公式进行计算可判断A选项；先利用直角三角形的正切函数求出，，据此可推出，利用三角形的面积公式可求出面积的取值范围，进而求出最大值；利用直线与平面所成的角的定义可得：当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，根据题意可求出B到平面SAC距离为，利用直角三角形的性质可求出直线SB与平面SAC所成角的最大值，判断C选项；先找出将、沿AB在同一个平面的平面图形，利用勾股定理可求出，利用直角三角形的性质可求出，利用余弦定理可求出，根据三点共线可求出的最小值，判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A.若，则抛物线的焦点坐标为，
且直线的方程为，即
联立直线与抛物线方程消去可得，
且直线l与该抛物线相交于，两点，，
则，，A正确；
C.且，，
则，原点到直线的距离，
则，C错误；
D.且，D正确；
B.设直线的方程为，代入抛物线中可得，
则，则，B正确；
故答案为：ABD
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意，当时，求出直线直线的方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理可得，，据此可判断A选项；应用焦半径公式求出，再求出原点到直线的距离，可求出，判断C选项；设直线的方程为
联立直线与抛物线方程，应用韦达定理可得，求出p的值，据此可判断B选项，应用焦半径公式进行计算求出，据此可判断D选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，在矩形中，过分别作的垂线，
因为，所以，，
A，在翻折的过程中，，始终成立，则BD为外接球的一条直径，所以，
所以、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球表面积为，A错误；
B，因为，所以若，只需要面，即即可，
则即可，此时二面角是存在的，即存在，使得，B正确；
C，易知，因为，所以，
因为，所以平方得
，所以，C正确；
D，由C知，，
所以，
所以，
所以直线与直线BD的夹角为，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】本题考查球内接几何体问题，直线与平面垂直的判定，平面向量的数量积，异面直线的夹角.根据题意可得：，始终成立，据此推出BD为外接球的一条直径，求出球的半径，据此可计算球的表面积，判断A选项；利用直线与平面垂直的判定定理可证明面，再利用勾股定理求出，进而推出存在，使得的；利用同角三角函数的基本关系可求出，根据向量的加法法则可得：，对式子进行平方，利用平面向量的数量积进行计算可求出，判定C选项；先利用平面向量的数量积求出，再求出，据此可反推出直线与直线BD的夹角，判定D选项.
13．【答案】2x+y﹣1＝0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以，
所以由点斜式可得切线方程为，即，
故答案为：
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式可求出切线方程.
14．【答案】1﹣．
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，
则，
若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，
则该溶液能够导致生物死亡的概率．
故答案为：．
【分析】本题考查随机变量的分布列.根据题意，利用概率计算公式先求出的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，再进行计算可求出答案．
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲、乙两名考生选科的总情况有，其中恰有两门选考科目相同的情况有以下两种：
①在物理、历史两科中选科相同：；
②在物理、历史两科中选科不同：，
因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率.
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的计算公式，排列组合的实际应用.先求出选科的总情况，再求出有两门选考科目相同的情况分两种情况：①在物理、历史两科中选科相同；②在物理、历史两科中选科不同，依次求出选科的种数，最后利用古典概型的概率计算公式可求出答案.
16．【答案】（﹣∞，1]
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，设，
所以，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为，
①当时，即时，在上单调递增，
又，所以函数在上恒成立，
所以满足题意；
②当时，即时，又在上单调递增，
所以，使得时，
所以在上单调递减，又，
所以当时，不满足恒成立，
综合①②可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.由题意，先求出导函数，再根据导函数判断出在上单调递增，据此可得在上的最小值为，分两种情况：和依次在上的单调性，进而讨论在上是否恒成立，据此可求出则实数a的取值范围.
17．【答案】（1）解：∵，∴由正弦定理可得，
∴，
整理得：，
∴，
由于，
所以；
（2）解：∵的角平分线AD与边BC相交于点D，
∴，∴，
∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，解得或（舍去）．
∴的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角；
（2）利用等面积法可得，化简可求出，利用余弦定理可列出方程，解方程可求出，据此可求出的面积.
18．【答案】（1）解：，①，（），②，
得：，
∵为等差数列，∴，，
，即，
∴，
数列是公比为3的等比数列，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，，
且数列和中的项由小到大组成新的数列，
其中，，此时，
所以数列中数列有项，数列有项，
，
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组求和求数列的和.
（1）通过数列的递推公式可得，利用等差数列的通项公式可求出公差，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，利用等比数列的通项公式可求出，据此可求出数列的通项公式；
（2）根据题意，通过计算可得：，据此可判断出数列中数列有项，数列有项，利用分组求和可求出.
19．【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，则，所以，
由椭圆的定义可得的周长为，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：
由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为，
设，，则，，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
因为
.
因为，
，
所以
，
所以，
故，即，
所以存在实数，使得成立.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）先利用椭圆的定义可求出的值，再利用焦距求出c，再根据椭圆的椭圆的关系式可求出b的值，据此可求出椭圆方程；
（2）根据题意作出图形，设n的方程为，将n的方程与椭圆方程进行联立，应用韦达定理可得：，，应用弦长公式求出，据此可求出的解析式，通过化简可求出的值，据此得出结论.
20．【答案】（1）解：
已知，函数定义域为R，
可得，
当时，，所以在R上单调递减；
当时，因为是开口向上的二次函数，且，
若，即时，，所以；所以在R上单调递减；
若，即时，此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，因为是开口向下的二次函数，且，
此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为增函数，
在上为减函数；
综上所述，当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在和上为增函数，
在上为减函数；
（2）解：
令，解得，
不妨设，函数定义域为，则在内有零点；
不妨设为在内的一个零点，因为，，
所以在区间和上不可能单调；
不妨设，函数定义域为，
此时在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，
易知， ，
当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点；
当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
若有两个零点，需满足，，，
不妨设，函数定义域为 ，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，此时恒成立，
又，，可得，
当时，不妨设的两个零点分别为，（），
可得在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
所以， 则在区间内有零点，
综上所述，实数m的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的零点.
（1）先求出函数的定义域，再求出函数的导数，对m进行分类讨论，分三种情况进行讨论：当时；当时，再分和进行讨论得结果；当时，讨论导函数的正负，再结合一元二次方程的求根公式，二次函数的性质，可求出函数的单调区间；
（2）设，函数定义域为，依题意在内有零点；分别构造函数，求出导函数，分三种情况：当时；当时；当时；讨论导函数的正负，进而求出最小值为，再令，求出导函数，根据导函数的正负可判断函数的单调性，据此可判断在上的零点个数，求出 实数m的取值范围.
21．【答案】（1）解：
A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
将所给数据整理，得到如下列联表：
性别 路线 合计
A B
男 30 90 120
女 120 60 180
合计 150 150 300
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对、两条路线的选择与性别有关.
（2）解：设为选择路线好评率，则，
设为选择路线好评率，则，
设路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，
则，，
，，
所以，
，，
，，
所以，
所以，所以选择路线.
【知识点】独立性检验的基本思想；二项分布
【解析】【分析】本题考查独立性检验，二项分布.
（1）首先补全补全作出列联表，再计算出值，将值与临界值进行比较，可作出决策；
（2）先求出选择、路线好评的概率，路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，利用二项分布的概率计算公式可求出所对应的概率，利用数学期望计算公式可求出数学期望，据此可作出判断.
22．【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OB，OP，
∵为等边三角形，O为AC的中点，
∴．
设，∴，，
在中，则，即．
又，平面，
∴平面ABC．
∵平面PAC，
∴平面平面ABC．
（2）解：∵为等边三角形，取BC的中点E，则，
∵，∴，∴，
则，，则D的轨迹是以E为圆心，半径为的圆上，且圆所在平面与BC垂直，
建立以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图：
则，设，则，
易知平面ABC的一个法向量为，
设平面BCD的法向量为，，，
则，即，得，，
设，则，即，
设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为，则，
因为，，
所以，解得，，即，
易知，点在线段OP上，不满足题意，
所以或，
所以，或.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.
（1）取AC的中点O，连接OB，OP，利用等腰三角形的性质可证明：，再利用勾股定理可证明，利用直线与平面垂直判定定理可证明平面ABC，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据为等边三角形确定点D的横坐标，设，写出对应点的坐标，求出对应向量，再求出平面BCD的法向量，根据锐二面角的正切值利用同角三角函数的基本关系可求出，利用空间向量的夹角公式可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点D坐标，利用两点间的距离公式可求出AD的长 .
1 / 1湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高三下·岳阳月考）若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，
故，即共有4个元素，
故答案为：C．
【分析】本题考查集合的交集运算.先应用列举法求集合A，再解一元二次不等式可求出集合，利用集合的交集运算可求出的元素个数.
2．（2024高三下·岳阳月考）已知复数z＝（1+i） （m﹣2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2 B．0＜m＜2 C．﹣2＜m＜2 D．m＜﹣2
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：，
对应点，
由于点在第一象限，
所以，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘法运算，复数的几何意义.先利用复数的乘法运算求出，再求出对应点，根据对应点所在象限在第一象限，可列出不等式组，解不等式可求出实数的取值范围.
3．（2024高三下·岳阳月考）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】本题考查函数的奇偶性，充分必要条件的判定.根据为奇函数，可得，据此可列出方程，解方程可求出的值，再根据充分条件和必要条件的定义可选出答案
4．（2024高三下·岳阳月考）抛物线y＝x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，﹣）
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，根据抛物线的标准方程可得，，所以，
又因为焦点坐标为，所以所求焦点坐标为，
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.根据抛物线的标准方程，可求出p的值，再利用焦点坐标公式可求出焦点坐标.
5．（2024高三下·岳阳月考）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故答案为：C.
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可求解.
6．（2024高三下·岳阳月考）某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h）如下：
原料时间工序 A B C
复型 9 16 10
上漆 15 8 14
则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（ ）
A．43 h B．46 h C．47 h D．49 h
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，此时完成修复工作所需时间最短，最短时间为.
故答案为：B.
【分析】本题考查分类计算原理.根据题意可得组合工序顺序为：甲工匠按A，C，B的顺序工作，乙工匠空闲时间最短，据此可求出最短时间.
7．（2024高三下·岳阳月考）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣1（ω＞0）在()上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
令，解得．
，
，
函数在上恰有4个不同的零点，
则，
，解得．
故答案为：D．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据零点的定义可再把问题转化为在内有4个不同的零点，利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出实数ω的取值范围 ．
8．（2024高三下·岳阳月考）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝cos2x+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）的最大值为
D．f（x）在区间上单调递减
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A.因为，定义域为R，
所以是偶函数，A错误；
B.因为，
所以的最小正周期不是，B错误；
C.因为 ，
令 ，则 ，
所以当时，取得最大值，最大值为，C错误；
D.当，，
则，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递减，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的奇偶性，周期性，函数的最值，函数的单调性.根据奇偶性的定义可得：，据此可判断A选项；通过计算可得，利用函数周期的定义可判断B选项；化简函数解析式可得 ，令 ，换元可得：，利用二次函数的性质可求出的最大值，判断C选项；先求出导函数，利用导函数可判断的单调性，据此可判断D选项.
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．（2024高三下·岳阳月考）大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一
B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
【答案】A,B,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】由题意得，年夜饭消费金额在的频率为，A符合题意；
若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，B符合题意；
平均数为（元），C不符合题意；
中位数为（元），D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】利用频率，频数，平均数，中位数的定义进行判断即可.
10．（2024高三下·岳阳月考）已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径AC=，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．△SAB面积的最大值为
C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为
D．若B是的中点，则（SF+CF）2的最小值为
【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【解答】解：A.圆锥的底面圆的半径，
圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，A正确；
B.如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆心，则，
，，，，
设，
则，B正确；
C.根据圆锥的结构特征可知，点在平面上的投影在上，
又为定值，则当点到直线的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，
由知，此时B到平面SAC距离为，
又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，C正确；
D.当B是弧AC的中点时，，
此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，
将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
取AB的中点D，连接SC、SD，
则，，
，
，
，
当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查圆锥的表面积，圆锥的结构特征，直线与平面所成的角，利用余弦定理解三角形.根据圆锥的侧面积公式进行计算可判断A选项；先利用直角三角形的正切函数求出，，据此可推出，利用三角形的面积公式可求出面积的取值范围，进而求出最大值；利用直线与平面所成的角的定义可得：当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角的最大，根据题意可求出B到平面SAC距离为，利用直角三角形的性质可求出直线SB与平面SAC所成角的最大值，判断C选项；先找出将、沿AB在同一个平面的平面图形，利用勾股定理可求出，利用直角三角形的性质可求出，利用余弦定理可求出，根据三点共线可求出的最小值，判断D选项.
11．（2024高三下·岳阳月考）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（其中x1＞0），则下面说法正确的是（ ）
A．若p＝2，则x1x2＝﹣4 B．若y1y2＝1，则p＝2
C．若p＝2，则 D．若p＝2，则
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A.若，则抛物线的焦点坐标为，
且直线的方程为，即
联立直线与抛物线方程消去可得，
且直线l与该抛物线相交于，两点，，
则，，A正确；
C.且，，
则，原点到直线的距离，
则，C错误；
D.且，D正确；
B.设直线的方程为，代入抛物线中可得，
则，则，B正确；
故答案为：ABD
【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.根据题意，当时，求出直线直线的方程，联立直线与抛物线方程，应用韦达定理可得，，据此可判断A选项；应用焦半径公式求出，再求出原点到直线的距离，可求出，判断C选项；设直线的方程为
联立直线与抛物线方程，应用韦达定理可得，求出p的值，据此可判断B选项，应用焦半径公式进行计算求出，据此可判断D选项.
12．（2024高三下·岳阳月考）已知矩形ABCD中，，△ABD沿着BD折起使得形成二面角A'﹣BD﹣C，设二面角A'﹣BD﹣C的平面角为θ，则下面说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，A'、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π
B．存在θ，使得A'B⊥CD
C．当时，
D．当时，直线A'C与直线BD的夹角为45°
【答案】B,C,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，在矩形中，过分别作的垂线，
因为，所以，，
A，在翻折的过程中，，始终成立，则BD为外接球的一条直径，所以，
所以、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球表面积为，A错误；
B，因为，所以若，只需要面，即即可，
则即可，此时二面角是存在的，即存在，使得，B正确；
C，易知，因为，所以，
因为，所以平方得
，所以，C正确；
D，由C知，，
所以，
所以，
所以直线与直线BD的夹角为，D正确，
故答案为：BCD.
【分析】本题考查球内接几何体问题，直线与平面垂直的判定，平面向量的数量积，异面直线的夹角.根据题意可得：，始终成立，据此推出BD为外接球的一条直径，求出球的半径，据此可计算球的表面积，判断A选项；利用直线与平面垂直的判定定理可证明面，再利用勾股定理求出，进而推出存在，使得的；利用同角三角函数的基本关系可求出，根据向量的加法法则可得：，对式子进行平方，利用平面向量的数量积进行计算可求出，判定C选项；先利用平面向量的数量积求出，再求出，据此可反推出直线与直线BD的夹角，判定D选项.
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．（2024高三下·岳阳月考）曲线f（x）＝xex﹣3x+1在点（0，1）处的切线方程是 （结果用一般式表示）．
【答案】2x+y﹣1＝0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以，
所以由点斜式可得切线方程为，即，
故答案为：
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式可求出切线方程.
14．（2024高三下·岳阳月考）已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足（k＝0，1，2， ），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为 ．
【答案】1﹣．
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，
则，
若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，
则该溶液能够导致生物死亡的概率．
故答案为：．
【分析】本题考查随机变量的分布列.根据题意，利用概率计算公式先求出的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，再进行计算可求出答案．
15．（2024高三下·岳阳月考）近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲、乙两名考生选科的总情况有，其中恰有两门选考科目相同的情况有以下两种：
①在物理、历史两科中选科相同：；
②在物理、历史两科中选科不同：，
因此甲、乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率.
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的计算公式，排列组合的实际应用.先求出选科的总情况，再求出有两门选考科目相同的情况分两种情况：①在物理、历史两科中选科相同；②在物理、历史两科中选科不同，依次求出选科的种数，最后利用古典概型的概率计算公式可求出答案.
16．（2024高三下·岳阳月考）已知函数 在x∈[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞，1]
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，设，
所以，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为，
①当时，即时，在上单调递增，
又，所以函数在上恒成立，
所以满足题意；
②当时，即时，又在上单调递增，
所以，使得时，
所以在上单调递减，又，
所以当时，不满足恒成立，
综合①②可得实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.由题意，先求出导函数，再根据导函数判断出在上单调递增，据此可得在上的最小值为，分两种情况：和依次在上的单调性，进而讨论在上是否恒成立，据此可求出则实数a的取值范围.
四、解答题（共6小题，每题70分）
17．（2024高三下·岳阳月考）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵，∴由正弦定理可得，
∴，
整理得：，
∴，
由于，
所以；
（2）解：∵的角平分线AD与边BC相交于点D，
∴，∴，
∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，解得或（舍去）．
∴的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角；
（2）利用等面积法可得，化简可求出，利用余弦定理可列出方程，解方程可求出，据此可求出的面积.
18．（2024高三下·岳阳月考）已知等差数列{an}满足an+an﹣1＝8n+2（n≥2），数列{bn}是公比为3的等比数列，a2+b2＝20．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{an}和{bn}中的项由小到大组成新的数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．
【答案】（1）解：，①，（），②，
得：，
∵为等差数列，∴，，
，即，
∴，
数列是公比为3的等比数列，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，，
且数列和中的项由小到大组成新的数列，
其中，，此时，
所以数列中数列有项，数列有项，
，
．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组求和求数列的和.
（1）通过数列的递推公式可得，利用等差数列的通项公式可求出公差，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，利用等比数列的通项公式可求出，据此可求出数列的通项公式；
（2）根据题意，通过计算可得：，据此可判断出数列中数列有项，数列有项，利用分组求和可求出.
19．（2024高三下·岳阳月考）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为，过F1的直线m与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P，过点N作NQ⊥l于点Q．记△GPQ，△GPM，△GQN的面积分别为S，S1，S2．问是否存在实数λ，使得成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设椭圆的焦距为，则，所以，
由椭圆的定义可得的周长为，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：
由题意可知，直线n的斜率不为0，其方程可设为，
设，，则，，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
因为
.
因为，
，
所以
，
所以，
故，即，
所以存在实数，使得成立.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）先利用椭圆的定义可求出的值，再利用焦距求出c，再根据椭圆的椭圆的关系式可求出b的值，据此可求出椭圆方程；
（2）根据题意作出图形，设n的方程为，将n的方程与椭圆方程进行联立，应用韦达定理可得：，，应用弦长公式求出，据此可求出的解析式，通过化简可求出的值，据此得出结论.
20．（2024高三下·岳阳月考）已知函数f（x）＝（mx2+1）e﹣x（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）+nxe﹣x﹣1在（0，1）上有零点，且m+n＝e﹣1，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：
已知，函数定义域为R，
可得，
当时，，所以在R上单调递减；
当时，因为是开口向上的二次函数，且，
若，即时，，所以；所以在R上单调递减；
若，即时，此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，因为是开口向下的二次函数，且，
此时方程有两个根，
所以当或者时，即，
当时，即，
所以在和上为增函数，
在上为减函数；
综上所述，当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在和上为增函数，
在上为减函数；
（2）解：
令，解得，
不妨设，函数定义域为，则在内有零点；
不妨设为在内的一个零点，因为，，
所以在区间和上不可能单调；
不妨设，函数定义域为，
此时在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，
易知， ，
当时，，在上单调递增，不可能有两个及以上零点；
当时，，在上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，
若有两个零点，需满足，，，
不妨设，函数定义域为 ，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，此时恒成立，
又，，可得，
当时，不妨设的两个零点分别为，（），
可得在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
所以， 则在区间内有零点，
综上所述，实数m的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的零点.
（1）先求出函数的定义域，再求出函数的导数，对m进行分类讨论，分三种情况进行讨论：当时；当时，再分和进行讨论得结果；当时，讨论导函数的正负，再结合一元二次方程的求根公式，二次函数的性质，可求出函数的单调区间；
（2）设，函数定义域为，依题意在内有零点；分别构造函数，求出导函数，分三种情况：当时；当时；当时；讨论导函数的正负，进而求出最小值为，再令，求出导函数，根据导函数的正负可判断函数的单调性，据此可判断在上的零点个数，求出 实数m的取值范围.
21．（2024高三下·岳阳月考）旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
A 路线 B 路线 合计
好 一般 好 一般
男 20 55 120
女 90 40 180
合计 50 75 300
（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A，B两条路线的选择与性别有关？
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．
附，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：
A路线 B路线 合计
好 一般 好 一般
男 10 20 55 35 120
女 90 30 20 40 180
合计 100 50 75 75 300
将所给数据整理，得到如下列联表：
性别 路线 合计
A B
男 30 90 120
女 120 60 180
合计 150 150 300
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为对、两条路线的选择与性别有关.
（2）解：设为选择路线好评率，则，
设为选择路线好评率，则，
设路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，
则，，
，，
所以，
，，
，，
所以，
所以，所以选择路线.
【知识点】独立性检验的基本思想；二项分布
【解析】【分析】本题考查独立性检验，二项分布.
（1）首先补全补全作出列联表，再计算出值，将值与临界值进行比较，可作出决策；
（2）先求出选择、路线好评的概率，路线和路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为、、、，利用二项分布的概率计算公式可求出所对应的概率，利用数学期望计算公式可求出数学期望，据此可作出判断.
22．（2024高三下·岳阳月考）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝AC，△ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形．（12分）
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）设PA＝2，存在该几何体外的一点D，使得△BCD为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长．
【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OB，OP，
∵为等边三角形，O为AC的中点，
∴．
设，∴，，
在中，则，即．
又，平面，
∴平面ABC．
∵平面PAC，
∴平面平面ABC．
（2）解：∵为等边三角形，取BC的中点E，则，
∵，∴，∴，
则，，则D的轨迹是以E为圆心，半径为的圆上，且圆所在平面与BC垂直，
建立以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图：
则，设，则，
易知平面ABC的一个法向量为，
设平面BCD的法向量为，，，
则，即，得，，
设，则，即，
设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为，则，
因为，，
所以，解得，，即，
易知，点在线段OP上，不满足题意，
所以或，
所以，或.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查平面与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.
（1）取AC的中点O，连接OB，OP，利用等腰三角形的性质可证明：，再利用勾股定理可证明，利用直线与平面垂直判定定理可证明平面ABC，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据为等边三角形确定点D的横坐标，设，写出对应点的坐标，求出对应向量，再求出平面BCD的法向量，根据锐二面角的正切值利用同角三角函数的基本关系可求出，利用空间向量的夹角公式可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出点D坐标，利用两点间的距离公式可求出AD的长 .
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