湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·襄阳月考） 已知，则的值为（ ）
A．－2a B．2a C．a D．
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】本题考查导数的定义.对原式进行变形，再结合导数的定义可得：原式，据此可求出答案.
2．（2024高二下·襄阳月考）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为点 到直线 的距离是 ，
所以圆的半径为 ，则圆的方程为： 。
故答案为：B
【分析】利用直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，从而求出圆的半径，再利用已知条件，从而求出以点 为圆心，且与直线 相切的圆的标准方程。
3．（2024高二下·襄阳月考）在空间四边形中，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
4．（2024高二下·襄阳月考）如图是定义在上的函数的导函数的图象，则函数的极值点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：设导函数图象与x轴的交点的横坐标分别为，如图所示：
由图可知：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则函数在取极大值，在取极小值，在取极大值，即函数的极值点得个数为3.
故答案为：B.
【分析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点，确定极值点个数即可.
5．（2024高二下·襄阳月考）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，
∴a23=a2 a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，
解得d= 2，
∴{an}前6项的和为 .
本题选择A选项.
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
6．（2024高二下·襄阳月考）已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为A为线段的中垂线与的交点，所以点A在椭圆上，且，
则，的周长为，
则，又因为，所以，又因为，
所以，即，即，即，则.
故答案为：B.
【分析】由题意结合椭圆的定义，求出，，再根据勾股定理得出a、c的关系，即可求椭圆的离心率.
7．（2024高二下·襄阳月考）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A．(1，1，1) B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：设交于点，连结，如图所示：
因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，
且平面，所以，又因为，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以.
故答案为：C．
【分析】设交于点，连结，建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理以及空间中点坐标公式求解即可．
8．（2024高二下·襄阳月考）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·襄阳月考）已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若{}是等比数列，则=-8或8
B．若{}是等比数列，则或-16
C．若{}是等差数列，则=17
D．若{}是等差数列，则公差为
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若数列{}为等比数列，设等比数列的公比为，则，即，解得，则，故A错误；
，故B正确.
若数列{}为等差数列，设等差数列的的公差为，因为，，
所以，解得，故D正确；
，解得，故C正确；
故答案为：BCD.
【分析】分数列为等比数列和等差数列讨论求解判断即可.
10．（2024高二下·襄阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形中，，它的两个锐角的顶点A和B分别在x正半轴、y正半轴上滑动，则下列结论正确的是（ ）
A．点C在直线 上 B．点C在直线上
C．点C的轨迹长度等于 D．点C的轨迹长度等于
【答案】B,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题可知：A，O，B，C四点共圆，且，
则直线的倾斜角为，故点在直线上，故A错误，B正确；
当B与O重合时，最小，即；
当于y轴时，等于A，O，B，C四点共圆的圆的直径，最大，，
所以点C的轨迹长度为，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题可知A，O，B，C四点共圆，且即可判断AB；当B与O重合时，最小，当y轴时，等于A，O，B，C四点共圆的圆的直径，最大即可判断CD.
11．（2024高二下·襄阳月考）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．（e为自然对数的底数，）
C．存在，
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：函数是定义域为的可导函数，因为，所以函数的图像关于点对称，所以，而，
故，所以的图像关于对称，因为，故时，，所以，设，
故时，，故在上单调递增，同理在上单调递减：
A、因为，故，故A正确；
B、，故，故B正确；
C、当时，；
当时，，而时，，故恒成立，故C错误；
D、当时，单调递减，，， 所以，故时，，而，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由原函数和导函数的对称性判断A即可；令，结合题设条件判断其单调性后再判断B，C，D选项即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·襄阳月考）函数的单调增区间是 .
【答案】，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
令，解得，
则的单调增区间为，.
故答案为：，.
【分析】求导，利用导数求解函数的单调增区间即可.
13．（2024高二下·襄阳月考）已知直线经过两点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过两点 ，
所以直线的方向向量为，且，
易知，且，，
则点到直线的距离为．
故答案为：.
【分析】利用空间向量法求解即可.
14．（2024高二下·襄阳月考）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，
，，
令 ，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时容积最大，把代入，得
由，得，即圆心角为时容积最大.
故答案为：.
【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，求导，利用导数求得函数的最大值，以及和，即可求得扇形的圆心角.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·襄阳月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线平行于直线，
所以，解得；
（2）解：由（1）可得，
令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故时函数取极大值，极大值为，时函数取极小值，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，根据导数与极值的关系列表求解即可.
（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为，极小值为.
16．（2024高二下·襄阳月考）在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接与交点为，连接，如图所示：
因为四边形是菱形，所以是的中点，
在中，因为，所以是等边三角形，，
在中，是的中点，则，
又因为平面，所以平面；
（2）解：连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接与交点为，连接，根据四边形是菱形，
可得，在中，根据题意可证，又是的中点，得，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）设与交点为，连接．
四边形是菱形，是的中点．
在中，是等边三角形，．
在中，是的中点，．
又平面，平面．
（2）连接，
是等边三角形，是线段的中点，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2024高二下·襄阳月考）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1）解：因为①
所以②
②-①得，则，
当时，①式为，即，也满足上式，故，
因为数列是等差数列，所以；
（2）解：，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，即，
因为，所以，解得，则，
令，即，即，
当时，经验证，（*）式满足要求，
令，则，
所以当时，，
即当时，式不成立，
故使得成立的的取值范围是．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由递推关系推得，结合等差数列求和公式求解即可；
（2）由题意，可得，利用等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集即可.
（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
18．（2024高二下·襄阳月考）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．
（1）求拋物线的方程；
（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：设准线与轴的交点为，如图所示：
因为直线的斜率为，所以，又因为，
所以，解得，
则抛物线的方程为：；
（2）解：设，过点的直线方程为：，
则联立，消元整理可得，满足，
由韦达定理可得：，
设，则直线斜率为，
则直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
【知识点】三点共线；恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，由韦达定理可得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式求解即可.
（1）
设准线与轴的交点为，
直线的斜率为，又，
．
故抛物线的方程为：．
（2）设，过点的直线方程为：．
则联立，整理得：，
由韦达定理可得：．
又设，
所以直线斜率为，
直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
19．（2024高二下·襄阳月考）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1.
（1）求的表达式；
（2）若恒成立，求的值.
（3）求证：.
【答案】（1）解：函数定义域为，，因为曲线在点处的切线斜率为1，所以，故；
（2）解：设，由题意可得恒成立，
因为，且函数的图像在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则，
又因为，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，，
综上，若恒成立，则；
（3）证明：由（2）可知，
，
先证，令，
则在上单调递减，，即，
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得，
又，得
所以，综上，.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可；
（2）设，则，根据极值点的定义可求得，再利用导数证明当时对任意恒成立即可；
（3）由（2）可得，进而.利用导数证明不等式、，结合放缩法和裂项相消法计算证明即可.
（1），则，
；
（2）设.
由条件知恒成立，
因为，又的图像在定义域上是连续不间断的，
所以是的一个极大值点，则.
又，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，.
综上，若恒成立，则.
（3）由（2）可知.
，
先证，
令，
则在上单调递减，，即
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得.
又，得
所以，
综上，.
1 / 1湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·襄阳月考） 已知，则的值为（ ）
A．－2a B．2a C．a D．
2．（2024高二下·襄阳月考）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·襄阳月考）在空间四边形中，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·襄阳月考）如图是定义在上的函数的导函数的图象，则函数的极值点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024高二下·襄阳月考）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
6．（2024高二下·襄阳月考）已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·襄阳月考）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A．(1，1，1) B． C． D．
8．（2024高二下·襄阳月考）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·襄阳月考）已知数列{}中，，，下列说法正确的是（ ）
A．若{}是等比数列，则=-8或8
B．若{}是等比数列，则或-16
C．若{}是等差数列，则=17
D．若{}是等差数列，则公差为
10．（2024高二下·襄阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形中，，它的两个锐角的顶点A和B分别在x正半轴、y正半轴上滑动，则下列结论正确的是（ ）
A．点C在直线 上 B．点C在直线上
C．点C的轨迹长度等于 D．点C的轨迹长度等于
11．（2024高二下·襄阳月考）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．（e为自然对数的底数，）
C．存在，
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·襄阳月考）函数的单调增区间是 .
13．（2024高二下·襄阳月考）已知直线经过两点，则点到直线的距离为 ．
14．（2024高二下·襄阳月考）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·襄阳月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
16．（2024高二下·襄阳月考）在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2024高二下·襄阳月考）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
18．（2024高二下·襄阳月考）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．
（1）求拋物线的方程；
（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19．（2024高二下·襄阳月考）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1.
（1）求的表达式；
（2）若恒成立，求的值.
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：.
故答案为：B．
【分析】本题考查导数的定义.对原式进行变形，再结合导数的定义可得：原式，据此可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为点 到直线 的距离是 ，
所以圆的半径为 ，则圆的方程为： 。
故答案为：B
【分析】利用直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，从而求出圆的半径，再利用已知条件，从而求出以点 为圆心，且与直线 相切的圆的标准方程。
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：设导函数图象与x轴的交点的横坐标分别为，如图所示：
由图可知：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则函数在取极大值，在取极小值，在取极大值，即函数的极值点得个数为3.
故答案为：B.
【分析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点，确定极值点个数即可.
5．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，
∴a23=a2 a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，
解得d= 2，
∴{an}前6项的和为 .
本题选择A选项.
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
6．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为A为线段的中垂线与的交点，所以点A在椭圆上，且，
则，的周长为，
则，又因为，所以，又因为，
所以，即，即，即，则.
故答案为：B.
【分析】由题意结合椭圆的定义，求出，，再根据勾股定理得出a、c的关系，即可求椭圆的离心率.
7．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：设交于点，连结，如图所示：
因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，
且平面，所以，又因为，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以.
故答案为：C．
【分析】设交于点，连结，建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理以及空间中点坐标公式求解即可．
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若数列{}为等比数列，设等比数列的公比为，则，即，解得，则，故A错误；
，故B正确.
若数列{}为等差数列，设等差数列的的公差为，因为，，
所以，解得，故D正确；
，解得，故C正确；
故答案为：BCD.
【分析】分数列为等比数列和等差数列讨论求解判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题可知：A，O，B，C四点共圆，且，
则直线的倾斜角为，故点在直线上，故A错误，B正确；
当B与O重合时，最小，即；
当于y轴时，等于A，O，B，C四点共圆的圆的直径，最大，，
所以点C的轨迹长度为，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题可知A，O，B，C四点共圆，且即可判断AB；当B与O重合时，最小，当y轴时，等于A，O，B，C四点共圆的圆的直径，最大即可判断CD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得：函数是定义域为的可导函数，因为，所以函数的图像关于点对称，所以，而，
故，所以的图像关于对称，因为，故时，，所以，设，
故时，，故在上单调递增，同理在上单调递减：
A、因为，故，故A正确；
B、，故，故B正确；
C、当时，；
当时，，而时，，故恒成立，故C错误；
D、当时，单调递减，，， 所以，故时，，而，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由原函数和导函数的对称性判断A即可；令，结合题设条件判断其单调性后再判断B，C，D选项即可.
12．【答案】，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
令，解得，
则的单调增区间为，.
故答案为：，.
【分析】求导，利用导数求解函数的单调增区间即可.
13．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线经过两点 ，
所以直线的方向向量为，且，
易知，且，，
则点到直线的距离为．
故答案为：.
【分析】利用空间向量法求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，
，，
令 ，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时容积最大，把代入，得
由，得，即圆心角为时容积最大.
故答案为：.
【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，求导，利用导数求得函数的最大值，以及和，即可求得扇形的圆心角.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线平行于直线，
所以，解得；
（2）解：由（1）可得，
令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故时函数取极大值，极大值为，时函数取极小值，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，由题意可得，求解即可；
（2）由（1）可得，根据导数与极值的关系列表求解即可.
（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为，极小值为.
16．【答案】（1）证明：连接与交点为，连接，如图所示：
因为四边形是菱形，所以是的中点，
在中，因为，所以是等边三角形，，
在中，是的中点，则，
又因为平面，所以平面；
（2）解：连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接与交点为，连接，根据四边形是菱形，
可得，在中，根据题意可证，又是的中点，得，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）设与交点为，连接．
四边形是菱形，是的中点．
在中，是等边三角形，．
在中，是的中点，．
又平面，平面．
（2）连接，
是等边三角形，是线段的中点，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
以为原点，所在直线分别为轴，轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，
于是，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角大小为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：因为①
所以②
②-①得，则，
当时，①式为，即，也满足上式，故，
因为数列是等差数列，所以；
（2）解：，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，即，
因为，所以，解得，则，
令，即，即，
当时，经验证，（*）式满足要求，
令，则，
所以当时，，
即当时，式不成立，
故使得成立的的取值范围是．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由递推关系推得，结合等差数列求和公式求解即可；
（2）由题意，可得，利用等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集即可.
（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
18．【答案】（1）解：设准线与轴的交点为，如图所示：
因为直线的斜率为，所以，又因为，
所以，解得，
则抛物线的方程为：；
（2）解：设，过点的直线方程为：，
则联立，消元整理可得，满足，
由韦达定理可得：，
设，则直线斜率为，
则直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
【知识点】三点共线；恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程求解即可；
（2）设，，联立直线与抛物线方程，消元整理，由韦达定理可得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式求解即可.
（1）
设准线与轴的交点为，
直线的斜率为，又，
．
故抛物线的方程为：．
（2）设，过点的直线方程为：．
则联立，整理得：，
由韦达定理可得：．
又设，
所以直线斜率为，
直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，因为曲线在点处的切线斜率为1，所以，故；
（2）解：设，由题意可得恒成立，
因为，且函数的图像在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则，
又因为，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，，
综上，若恒成立，则；
（3）证明：由（2）可知，
，
先证，令，
则在上单调递减，，即，
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得，
又，得
所以，综上，.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义结合题意求解即可；
（2）设，则，根据极值点的定义可求得，再利用导数证明当时对任意恒成立即可；
（3）由（2）可得，进而.利用导数证明不等式、，结合放缩法和裂项相消法计算证明即可.
（1），则，
；
（2）设.
由条件知恒成立，
因为，又的图像在定义域上是连续不间断的，
所以是的一个极大值点，则.
又，所以，得；
下证当时，对任意恒成立，
令，则，
由，
知函数在单调递增，在上单调递减，
，即，而，
所以当时，.
综上，若恒成立，则.
（3）由（2）可知.
，
先证，
令，
则在上单调递减，，即
所以
再证，先证，
令，则，
当时，，函数单调递增，且，则，
即，令即得.
又，得
所以，
综上，.
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