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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．3 C． D．
4．一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．2，4
5．若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点位于第二或四象限 B．图象一定经过
C．在每个象限内，随的增大而减小 D．图象一定经过
6．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
8．如图，将 ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，若∠1＝58°，∠2＝42°，则∠B的度数为（ ）
A．71° B．50° C．54.5° D．80°
（第8题） （第9题）
9． 如图，在正方形中，正方形的面积为，正方形的面积为，两个阴影部分面积之和为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 若式子在实数范围内有意义，则满足条件的的最小整数为 ．
12．甲、乙两名篮球运动员进行每组10次的投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝0.85，则在本次训练中，运动员 的成绩更稳定．
13．公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则OC的长为 ．
14．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，四边形是菱形，、交于点O，于H，连接，若，，则 ．
16．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程：（1）x2-4x+4=0
（2）2x2-6x=0
（3）(2x-3)2=3(2x-3)
（4）x2-3x-28=0
18．为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ▲ ，n= ▲ ，并补全频数分布直方图；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数：的图象相交于点A(1，2)和点B.
（1）求b和k的值.
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x(x<0)的不等式的解.
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO=CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=10，求BC的长．
21．已知抛物线经过，对称轴是直线．点，两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取何值时，取最大值．
22．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
23．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活，某果农在抖音平台上直播销售自家果园的苹果．已知苹果的成本价为6元/千克，试销期间发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数，其中，设每天的利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）为保证每天利润为700元，果农想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（3）每天的最大销售利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
24．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
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浙教版2023-2024学年九上数学第1章二次函数 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.
故答案为：C.
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】A、
不能合并，所以A选项不符合题意；
B、原式=
，所以B选项不符合题意；
C、原式=
，所以C选项符合题意；
D、原式=
，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
4．一组数据2，2，4，3，6，5，2的众数和中位数分别是
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．2，4
【答案】B
【解析】∵数据中2出现的次数最多，∴众数为2，∵数据排序后为2，2，2，3，4，5，6，最中间的数为3，∴中位数就是3，故B符合题意.
故选B.
5．若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．点位于第二或四象限 B．图象一定经过
C．在每个象限内，随的增大而减小 D．图象一定经过
【答案】C
【解析】A、k＜0，反比例函数图形位于第二、第四象限，A 错误；
B、 当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限且关于原点对称，B错误；
C、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随着x的增大而增大，C正确；
D、 反比例函数的图象经过点 ，将点A（-a，-b）代入得，k=ab，因此图像一定经过（-b，-a），D错误.
故答案为：C.
6．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为．
故答案为：C
7．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或2 B．24 C．2 D．8或24
【答案】D
【解析】∵(x-6)(x-10)=0，
∴x-6=0或x-10=0
解之：x1=6，x2=10，
当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，
∴此三角形是等腰三角形，
底边上的高为，
∴此时三角形的面积为；
x=10时，
∵62+82=102，
∴此时的三角形是直角三角形，
此三角形的面积为，
∴此三角形的面积为 8或24 .
故答案为：D.
8．如图，将 ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，若∠1＝58°，∠2＝42°，则∠B的度数为（ ）
A．71° B．50° C．54.5° D．80°
【答案】A
【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠C'EC=∠1=58°，
由折叠知：∠FEC=∠C'EC=29°，
∴∠C=180°-∠FEC-∠2=180°-29°- 42° =109°，
∵AB∥DC，
∴∠B=180°-∠C= 71° .
故答案为：A.
9． 如图，在正方形中，正方形的面积为，正方形的面积为，两个阴影部分面积之和为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD、QBEG、PMND是正方形，且 正方形的面积为，正方形的面积为，
∴AB=BC=CD=DA，QB=BE=EQ=GQ=，PM=MN=ND=DA=，∠M=∠G=∠MHG=90°，
∴四边形MFGH是矩形，
可设MF=HG=x，MH=FG=y，
∴AQ=-y，QH=-x，EF=-y，EC=-x，AB=-y，BC=-x，
∴x=y，
∴四边形MFGH是正方形，
∵ 两个阴影部分面积之和为，
∴(-y)(-x)+(-x)(-y)=15，
∴2x2-10x+9=0，
解得：x=或（舍），
∴MF=.
故答案为：B.
10．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 若式子在实数范围内有意义，则满足条件的的最小整数为 ．
【答案】
【解析】在实数范围内有意义，
2x+4>0，
解得：x>-2，
满足条件的的最小整数为 -1，
故答案为：-1.
12．甲、乙两名篮球运动员进行每组10次的投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝0.85，则在本次训练中，运动员 的成绩更稳定．
【答案】乙
【解析】，，
，
运动员乙的成绩更稳定，
故答案为：乙．
13．公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，，则OC的长为 ．
【答案】
【解析】∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ BC=AD=12cm，
∵ AB=15cm，AC⊥BC，
∴ AC=9cm，
∴ OC==.
故答案为：.
14．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为
【答案】-3
【解析】如图，画直线
当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故答案为：-3
15．如图，四边形是菱形，、交于点O，于H，连接，若，，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠DOC=90°
∵DH⊥AB
∴OH=BD=OB
∴BD=2OH=6，OB=3
∵OA=AC=4
在Rt△AOB中
AB=
=5
S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH
即：×8×6=5DH
解得：DH=
故答案为：.
16．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是 .
【答案】9
【解析】∵，，
∴A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
根据平行四边形的性质，D也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，
∵，∴，
∵，
∴，，
∵C、D都在反比例函数图象上，
∴它们横纵坐标的乘积相等，即，解得，
∴.
故答案为：9.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程：
（1）x2-4x+4=0
（2）2x2-6x=0
（3）(2x-3)2=3(2x-3)
（4）x2-3x-28=0
【答案】（1）解：∵x2-4x+4=0，
∴（x-2）2=0，
∴x-2=0，
∴x1=x2=2；
（2）解：∵2x2-6x=0 ，
∴x2-3x=0，
∴x（x-3）=0，
∴x1=0，x2=3；
（3）解：∵ (2x-3)2=3(2x-3) ，
∴(2x-3) （2x-6）=0，
∴x1=3，x2=；
（4）解：x2-3x-28=0，
∴（x-7）（x+4）=0，
∴x1=7，x2=-4.
18．为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
【答案】（1）解：20；162；
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
【解析】（1）解：，
故，
，
故补全的频数分布直方图如下：
结合条件可知，男生的中位数为：；
故填：20；162；
19．如图，已知一次函数的图象与反比例函数：的图象相交于点A(1，2)和点B.
（1）求b和k的值.
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x(x<0)的不等式的解.
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A（-1，2），
∴2=×（-1）+b，2=，
解得：b=，k=-2；
（2）解：点
【解析】（2）解方程组得：，，
∵A（-1，2），∴B（-4，），
∵，
∴-4＜x＜-1，
即不等式的解集为：-4＜x＜-1.
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO=CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=10，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．已知抛物线经过，对称轴是直线．点，两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当取何值时，取最大值．
【答案】（1）解：由题可得：，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点，两点在抛物线上，
∴，
∴，
∵，∴当时，取最大值．
22．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥ BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC= 180°．
∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是正方形．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC= BD，CO=AC，DO=BD，∴∠COB= ∠ DOC= 90° ，CO=DO．
∵DH∠ CE ，垂足为H，∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH= 90°．
∵∠ECO+∠DEH=90°，∴∠ECO=∠EDH．
在△ECO和△FDO中
∴△ECO≌△FDO( ASA) ，∴OE=OF．
23．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活，某果农在抖音平台上直播销售自家果园的苹果．已知苹果的成本价为6元/千克，试销期间发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数，其中，设每天的利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）为保证每天利润为700元，果农想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（3）每天的最大销售利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
【答案】（1）解：根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，
解得，，
∵要尽快销售完库存，，∴，
∴每天利润为700元，售价为11元；
（3）解：，
∵，，
∴当时，w取最大值为720，
此时，
答：每天的最大销售利润是720元，当利润最大时当天的销售量是120千克．
24．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作X轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM有最大值；
（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH=HG=，
∴QG=×=4，∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
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