﹡2.4 一元二次方程根与系数的关系
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于(B)
A.2 B.-2 C. D.-
2.设一元二次方程x2-3x-5=0的两根分别为x1,x2,则+的值为(B)
A. B.-
C.3 D.-5
3.(2023·遵义仁怀市模拟)若α和β是关于x的方程x2+bx-1=0的两根,
且αβ-2α-2β=-11,则b的值是(C)
A.-3 B.3 C.-5 D.5
4.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1·x2的值是 3 .
5.设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则+的值为 10 .
6.(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 7 .
7.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1,x2,且+-x1x2=7,求m的值.
【解析】(1)∵x2-(m-3)x-m=0,
∴Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x2-(m-3)x-m=0,方程的两实根为x1,x2,且+-x1x2=7,
∴(x1+x2)2-3x1x2=7,
∴(m-3)2-3×(-m)=7,
解得,m1=1,m2=2,
即m的值是1或2.
知识点2 已知一根求另一根
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的一个根为4,则另一个根为(B)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
9.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 x=-2 .
10.已知关于x的方程x2+2x+3m-4=0的一个根是2,求另一个根和m的值.
【解析】把x=2代入方程得4+4+3m-4=0,解得m=-,
方程化为x2+2x-8=0,
设方程的另一根为x2,则2+x2=-2,
解得x2=-4,
即方程的另一个根为-4,m的值为-.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.(2022·黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为(B)
A.7 B.-7 C.6 D.-6
12.已知α,β是方程x2+2 021x+1=0的两个根,则(α2+2 023α+1)(β 2+2 023β+1)的值为(D)
A.2 021 B.2 023 C.2 D.4
13.(2023·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为(C)
A.4 B.8 C.12 D.16
14.已知a,b,c分别是三角形的三边,且a,b是关于x的一元二次方程x2-3x-cx+3c+= 0的两个根,则该三角形是(C)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
15.已知关于x的一元二次方程x2-mx+1=0的两根之差为2,则m等于(D)
A.1或-1 B.2或-2
C.或- D.2或-2
16.已知关于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一实数根为-1,则该方程的另一个实数根为 - .
17.(2023·内江中考)已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= -2 .
18.关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 0 .
19.已知关于x的一元二次方程x2-2x+4-k=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x2+x1=-48,求k的值.
【解析】(1)依题意可知Δ>0,
即(-2)2-4(4-k)>0,∴k>3;
(2)∵关于x的一元二次方程x2-2x+4-k=0有两个不相等的实数根x1,x2,
∴x1+x2=2,x1x2=4-k,
∵x2+x1=-48,
∴x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-48,
整理得k2-6k-16=0,
∴k1=8,k2=-2,
又∵k>3,∴k=8,
故k的值为8.
易错点1 求两根之和时漏掉负号
【案例1】已知m,n是方程x2-2x-5=0的两个不同的实数根,则m+n的值为(B)
A.-2 B.2 C.-5 D.5
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
【案例2】已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为(A)
A.-3 B.-1
C.-3或1 D.-1或3﹡2.4 一元二次方程根与系数的关系
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于( )
A.2 B.-2 C. D.-
2.设一元二次方程x2-3x-5=0的两根分别为x1,x2,则+的值为( )
A. B.-
C.3 D.-5
3.(2023·遵义仁怀市模拟)若α和β是关于x的方程x2+bx-1=0的两根,
且αβ-2α-2β=-11,则b的值是( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
4.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1·x2的值是 .
5.设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根,则+的值为 .
6.(2023·达州中考)已知x1,x2是方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且(x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 .
7.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1,x2,且+-x1x2=7,求m的值.
知识点2 已知一根求另一根
8.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的一个根为4,则另一个根为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
9.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 .
10.已知关于x的方程x2+2x+3m-4=0的一个根是2,求另一个根和m的值.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.(2022·黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为( )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
12.已知α,β是方程x2+2 021x+1=0的两个根,则(α2+2 023α+1)(β 2+2 023β+1)的值为( )
A.2 021 B.2 023 C.2 D.4
13.(2023·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
14.已知a,b,c分别是三角形的三边,且a,b是关于x的一元二次方程x2-3x-cx+3c+= 0的两个根,则该三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
15.已知关于x的一元二次方程x2-mx+1=0的两根之差为2,则m等于( )
A.1或-1 B.2或-2
C.或- D.2或-2
16.已知关于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一实数根为-1,则该方程的另一个实数根为 .
17.(2023·内江中考)已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= .
18.关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 .
19.已知关于x的一元二次方程x2-2x+4-k=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x2+x1=-48,求k的值.
易错点1 求两根之和时漏掉负号
【案例1】已知m,n是方程x2-2x-5=0的两个不同的实数根,则m+n的值为( )
A.-2 B.2 C.-5 D.5
易错点2 运用根与系数的关系求系数时,忽略方程有实数根的前提条件
【案例2】已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为( )
A.-3 B.-1
C.-3或1 D.-1或3
