第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的相关概念
1.(概念应用题)下列方程是一元二次方程的是(D)
A.2x2+x-y=0
B.ax2+4x-5=0
C.3x2+2x+7=3(x2-1)
D.x2-1=0
2.若关于x的方程(m-3)x2+x-m=0是一元二次方程,则m的取值范围是(A)
A.m≠3 B.m=3
C.m≥3 D.m≠0
3.(2023·镇江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根,则m=
5 .
4.已知a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,求a2-2 024a+的值.
【解析】∵a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,∴a2-2 023a+1=0.
∴a2-2 024a=a2-2 023a+1-a-1=-a-1,又∵a2+1=2 023a,
∴原式=-a-1+=-a-1+a=-1.
知识点2 一元二次方程的一般形式
5.(2024·铜仁期末)把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为(D)
A.4x,-1
B.4x,1
C.-4x,-1
D.-4x,1
6.(教材再开发·P28T1改编)把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是
2x2-3x+5=0 .
7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
【解析】(3x+2)(x-3)=2x-6,3x2-9x=0,
所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0.
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
8.(生活情境题)(2023·阜新中考)近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是(B)
A.16(1+x)2=23 B.23(1-x)2=16
C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16
9.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路宽为x m,根据题意,所列方程为 (20-x)(32-x)=540 .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(2024·铜仁碧江区质检)方程(m2-1)x2+mx-5=0是关于x的一元二次方程,则m的值不能是(C)
A.0 B. C.±1 D.-
11.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是(A)
A.-2x B.-2 C.2x D.2
12.把一元二次方程4x2-4x+1=x2+6x+9化成一般形式是 3x2-10x-8=0 .
13.(2024·遵义质检)某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为
x2+x+1=91 .
14.已知a是方程x2-2x-4=0的根,求代数式a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2的值.
【解析】a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2
=a3+2a2+a-a3-a2-3a-2=a2-2a-2,
∵a是方程x2-2x-4=0的根,
∴a2-2a-4=0,∴a2-2a=4,
∴原式=4-2=2.
15.将一个容积为750 cm3的包装盒剪开、铺平后如图所示.写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗 如果是,把它化为一元二次方程的一般形式.
【解析】由题意可得:长方体的长为15 cm,宽为(30-2x)÷2=15-x(cm),
则根据题意,列出关于x的方程为:15(15-x)·x=750.整理,得x2-15x+50=0.
该方程是一元二次方程.
16.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根.
【解析】整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0,
得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0,
因为化为一般式后为3x2+2x-1=0,
所以,
解得,
∴a2+b2-c2=9+16=25,
∴a2+b2-c2的值的算术平方根是5.
17.(素养提升题)已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)m为何值时,此方程是一元一次方程
(2)m为何值时,此方程是一元二次方程 并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
【解析】(1)根据一元一次方程的定义可知:
m2-1=0,m+1≠0,
解得:m=1,
所以当m=1时,此方程是一元一次方程;
(2)根据一元二次方程的定义可知:m2-1≠0,
解得:m≠±1.
一元二次方程的二次项系数为m2-1,一次项系数为-(m+1),常数项为m.
易错点 忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件
【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是 -1 . 第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 一元二次方程的相关概念
1.(概念应用题)下列方程是一元二次方程的是( )
A.2x2+x-y=0
B.ax2+4x-5=0
C.3x2+2x+7=3(x2-1)
D.x2-1=0
2.若关于x的方程(m-3)x2+x-m=0是一元二次方程,则m的取值范围是( )
A.m≠3 B.m=3
C.m≥3 D.m≠0
3.(2023·镇江中考)若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根,则m=
.
4.已知a是方程x2-2 023x+1=0的一个根,求a2-2 024a+的值.
知识点2 一元二次方程的一般形式
5.(2024·铜仁期末)把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式,当二次项为3x2时,一次项和常数项分别为( )
A.4x,-1
B.4x,1
C.-4x,-1
D.-4x,1
6.(教材再开发·P28T1改编)把一元二次方程2x2=3x-5化成一般形式是
.
7.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
知识点3 根据实际问题列一元二次方程
8.(生活情境题)(2023·阜新中考)近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元,5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是( )
A.16(1+x)2=23 B.23(1-x)2=16
C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16
9.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路宽为x m,根据题意,所列方程为 .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(2024·铜仁碧江区质检)方程(m2-1)x2+mx-5=0是关于x的一元二次方程,则m的值不能是( )
A.0 B. C.±1 D.-
11.若关于x的一元二次方程x2-(4+m)x+3m=0的常数项是-6,则它的一次项是( )
A.-2x B.-2 C.2x D.2
12.把一元二次方程4x2-4x+1=x2+6x+9化成一般形式是 .
13.(2024·遵义质检)某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长出x个小分支,则可得方程为
.
14.已知a是方程x2-2x-4=0的根,求代数式a(a+1)2-a(a2+a)-3a-2的值.
15.将一个容积为750 cm3的包装盒剪开、铺平后如图所示.写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗 如果是,把它化为一元二次方程的一般形式.
16.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方根.
17.(素养提升题)已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)m为何值时,此方程是一元一次方程
(2)m为何值时,此方程是一元二次方程 并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
易错点 忽略一元二次方程的二次项系数不为零的条件
【案例】若方程(a-1)x|a|+1+2x-8=0是关于x的一元二次方程,则a的值是 .
