2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 直接开平方法
1.(概念应用题)(2024·毕节威宁县期末)方程x2=16的解为( )
A.x=4 B.x=-4
C.x=4或-4 D.x=0或4
2.(2024·安顺紫云县质检)已知b<0,关于x的一元二次方程2x2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
3.方程(x+2)2-9=0的解为 .
4.(教材再开发·P31T1改编)解方程:
(1)2x2=3;
(2)2(x-1)2=18.
知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程
5.用配方法解一元二次方程x2-6x-1=0时,下列变形正确的是( )
A.(x-3)2=10 B.(x-3)2=1
C.(x+3)2=1 D.(x+3)2=10
6.若将一元二次方程x2+6x-8=0配方得到(x+a)2=b,则a,b的值分别是( )
A.3,1 B.-3,1
C.3,17 D.3,-17
7.方程x2+4=4x的解为 .
8.小明解一元二次方程x2-2x-2=0的过程如下:
解:x2-2x=2,第一步;
x2-2x+1=2,第二步;
=2,第三步;
x-1=±,第四步;
x1=1+,x2=1-,第五步.
(1)小明解方程的方法是 ,他的求解过程从第 步开始出现错误;
(2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为( )
A.x2-1=0 B.x2=0
C.x2+4=0 D.-x2+3=0
10.关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.
11.对于方程(ax+b)2=c,下列叙述正确的是( )
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x=
C.当c≥0时,方程可化为:ax+b=或ax+b=-
D.当c=0时,x=
12.(2024·铜仁质检)若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x= .
13.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2= .
14.(易错警示题)用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m,n为常数),则= .
15.若a为方程(x-)2=16的一正根,b为方程y2-2y+1=13的一负根,求a+b的值.
16.(素养提升题)选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中两项,配成完全平方式的过程叫配方,例如
①选取二次项和一次项配方:x2-4x+2=(x-2)2-2;
②选取二次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x,或x2-4x+2=(x+)2-
(2+4)x;
③选取一次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2-x2.
根据以上材料,解决下面问题:
(1)写出x2-8x+4的两种不同形式的配方.
(2)已知x2+y2+xy-3y+3=0,求xy的值.
易错点 用直接开平方法解一元二次方程出现漏解致错
【案例】一元二次方程9x2-1=0的根是( )
A.x1=x2=3 B.x1=3,x2=-3
C.x1=,x2=- D.x1=x2=2.2.1 配方法
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.将方程3x2-12x-1=0进行配方,正确的是(D)
A.3(x-2)2=5 B.(3x-2)2=13
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=
2.用配方法解下列方程时,配方错误的是(D)
A.2x2-7x-4=0化为(x-)2=
B.2t2-4t+2=0化为(t-1)2=0
C.4y2+4y-1=0化为(y+)2=
D.x2-x-4=0化为(x-)2=
3.当x= 1± 时,代数式3x2-6x的值等于12.
4.(教材再开发·P35T1改编)解方程:
(1)2x2-4x=3;
(2)4x(x-1)=1.
【解析】(1)∵2x2-4x=3,则x2-2x=,
∴x2-2x+1=+1,即(x-1)2=,
∴x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-;
(2)4x(x-1)=1,
4x2-4x+1=1+1,
(2x-1)2=2,
2x-1=±,x=,
x1=,x2=.
知识点2 配方法的应用
5.(2024·六盘水质检)代数式x2-4x+5的值(A)
A.恒为正 B.恒为负
C.可能为0 D.不能确定
6.已知任意实数满足等式M=a2-4ab+4b2,N=4a-8b-5,则M,N的大小关系是(B)
A.M=N B.M>N
C.M7.(2024·黔西南州兴义市期中)代数式x2+8x+5的最小值是 -27 .
8.a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,c=4,则△ABC的周长为 11 .
9.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
【解析】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0,
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0,
∴(m+n)2+(n-3)2=0,
∴m+n=0,n-3=0,
∴m=-3,n=3.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为(B)
A. B. C.2 D.
11.用配方法解下列方程时,配方有错误的是(B)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为(t-)2=
D.3y2-4y-2=0化为(y-)2=
12.(易错警示题)下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是(D)
A.① B.② C.③ D.④
13.(2024·黔南州期中)不论x,y取什么值,代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值(C)
A.总大于7 B.总不小于9
C.总不小于-9 D.为任意有理数
14.已知a,b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-10b+41=0,则等腰△ABC的周长为 13或14 .
15.比较x2+1与2x的大小.
(1)尝试(用“<”“=”或“>”填空):
①当x=1时,x2+1 2x;
②当x=0时,x2+1 2x;
③当x=-2时,x2+1 2x.
(2)归纳:若x取任意实数,x2+1与2x有怎样的大小关系 试说明理由.
【解析】(1)①当x=1时,x2+1=2x;
②当x=0时,x2+1>2x;
③当x=-2时,x2+1>2x.
答案:= > >
(2)x2+1≥2x.
理由:∵x2+1-2x=(x-1)2≥0,
∴x2+1≥2x.
16.(素养提升题)先阅读,后解题.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
解:将左边分组配方:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,即(m+1)2+(n-3)2=0.
∵(m+1)2≥0,(n-3)2≥0,且和为0,
∴(m+1)2=0且(n-3)2=0,
∴m=-1,n=3.
利用以上解法,解下列问题:
(1)已知:x2+4x+y2-2y+5=0,求x和y的值;
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=8a+6b-25且△ABC为直角三角形,求c.
【解析】(1)∵x2+4x+y2-2y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(y2-2y+1)=0,
即(x+2)2+(y-1)2=0,
∵(x+2)2≥0,(y-1)2≥0,且和为0,
∴(x+2)2=0且(y-1)2=0,
∴x=-2,y=1;
(2)∵a2+b2=8a+6b-25,
方程变形为(a-4)2+(b-3)2=0,
∵(a-4)2≥0,(b-3)2≥0,∴a=4,b=3,
∵△ABC为直角三角形,
∴当a=4,b=3是直角边时,
则c==5;
当a=4是斜边,b=3是直角边时,
则c==;
∴c=5或c=.
易错点 忽视配方的前提条件致错
【案例】用配方法将方程2x2+x=2变形为(x+h)2=k的形式是 = . 2.2.1 配方法
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.将方程3x2-12x-1=0进行配方,正确的是( )
A.3(x-2)2=5 B.(3x-2)2=13
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=
2.用配方法解下列方程时,配方错误的是( )
A.2x2-7x-4=0化为(x-)2=
B.2t2-4t+2=0化为(t-1)2=0
C.4y2+4y-1=0化为(y+)2=
D.x2-x-4=0化为(x-)2=
3.当x= 时,代数式3x2-6x的值等于12.
4.(教材再开发·P35T1改编)解方程:
(1)2x2-4x=3;
(2)4x(x-1)=1.
知识点2 配方法的应用
5.(2024·六盘水质检)代数式x2-4x+5的值( )
A.恒为正 B.恒为负
C.可能为0 D.不能确定
6.已知任意实数满足等式M=a2-4ab+4b2,N=4a-8b-5,则M,N的大小关系是( )
A.M=N B.M>N
C.M7.(2024·黔西南州兴义市期中)代数式x2+8x+5的最小值是 .
8.a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,c=4,则△ABC的周长为 .
9.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0时,将它化为(x+a)2=b的形式,则a+b的值为( )
A. B. C.2 D.
11.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为(t-)2=
D.3y2-4y-2=0化为(y-)2=
12.(易错警示题)下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中,出现错误的是( )
A.① B.② C.③ D.④
13.(2024·黔南州期中)不论x,y取什么值,代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值( )
A.总大于7 B.总不小于9
C.总不小于-9 D.为任意有理数
14.已知a,b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-10b+41=0,则等腰△ABC的周长为 .
15.比较x2+1与2x的大小.
(1)尝试(用“<”“=”或“>”填空):
①当x=1时,x2+1 2x;
②当x=0时,x2+1 2x;
③当x=-2时,x2+1 2x.
(2)归纳:若x取任意实数,x2+1与2x有怎样的大小关系 试说明理由.
16.(素养提升题)先阅读,后解题.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
解:将左边分组配方:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,即(m+1)2+(n-3)2=0.
∵(m+1)2≥0,(n-3)2≥0,且和为0,
∴(m+1)2=0且(n-3)2=0,
∴m=-1,n=3.
利用以上解法,解下列问题:
(1)已知:x2+4x+y2-2y+5=0,求x和y的值;
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=8a+6b-25且△ABC为直角三角形,求c.
易错点 忽视配方的前提条件致错
【案例】用配方法将方程2x2+x=2变形为(x+h)2=k的形式是 . 2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 直接开平方法
1.(概念应用题)(2024·毕节威宁县期末)方程x2=16的解为(C)
A.x=4 B.x=-4
C.x=4或-4 D.x=0或4
2.(2024·安顺紫云县质检)已知b<0,关于x的一元二次方程2x2=b的根的情况是(C)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定
3.方程(x+2)2-9=0的解为 x1=1,x2=-5 .
4.(教材再开发·P31T1改编)解方程:
(1)2x2=3;
(2)2(x-1)2=18.
【解析】(1)∵2x2=3,∴x2=,
解得x1=,x2=-;
(2)2(x-1)2=18,
方程两边除以2,得(x-1)2=9,
则x-1=3或x-1=-3,
解得x1=4,x2=-2.
知识点2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程
5.用配方法解一元二次方程x2-6x-1=0时,下列变形正确的是(A)
A.(x-3)2=10 B.(x-3)2=1
C.(x+3)2=1 D.(x+3)2=10
6.若将一元二次方程x2+6x-8=0配方得到(x+a)2=b,则a,b的值分别是(C)
A.3,1 B.-3,1
C.3,17 D.3,-17
7.方程x2+4=4x的解为 x1=x2=2 .
8.小明解一元二次方程x2-2x-2=0的过程如下:
解:x2-2x=2,第一步;
x2-2x+1=2,第二步;
=2,第三步;
x-1=±,第四步;
x1=1+,x2=1-,第五步.
(1)小明解方程的方法是 ,他的求解过程从第 步开始出现错误;
(2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程.
【解析】(1)由解题过程可得,小明解方程的方法是配方法,
他的求解过程从第二步开始出现错误.
答案:配方法 二
(2)x2-2x=2,x2-2x+1=2+1,=3,x-1=±,x1=1+,x2=1-.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为(C)
A.x2-1=0 B.x2=0
C.x2+4=0 D.-x2+3=0
10.关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0的一个根是0,则a的值为(B)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.
11.对于方程(ax+b)2=c,下列叙述正确的是(C)
A.不论c为何值,方程均有实数根
B.方程的根是x=
C.当c≥0时,方程可化为:ax+b=或ax+b=-
D.当c=0时,x=
12.(2024·铜仁质检)若2x2+3与2x2-4互为相反数,则x= ± .
13.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2= 3 .
14.(易错警示题)用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m,n为常数),则= 1 .
15.若a为方程(x-)2=16的一正根,b为方程y2-2y+1=13的一负根,求a+b的值.
【解析】∵方程(x-)2=16的解为x=±4,
∵+4>0,-4<0,∴a=+4,
∵方程y2-2y+1=13,
即(y-1)2=13的解为y=1±,
∵1+>0,1-<0,
∴b=1-,
则a+b=+4+1-=5.
16.(素养提升题)选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中两项,配成完全平方式的过程叫配方,例如
①选取二次项和一次项配方:x2-4x+2=(x-2)2-2;
②选取二次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x,或x2-4x+2=(x+)2-
(2+4)x;
③选取一次项和常数项配方:x2-4x+2=(x-)2-x2.
根据以上材料,解决下面问题:
(1)写出x2-8x+4的两种不同形式的配方.
(2)已知x2+y2+xy-3y+3=0,求xy的值.
【解析】(1)(答案不唯一)x2-8x+4=x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12;
x2-8x+4=(x-2)2+4x-8x=(x-2)2-4x.
(2)x2+y2+xy-3y+3=0,
+(y-2)2=0,
则x+y=0,y-2=0,可得x=-1,y=2,
则xy=(-1)2=1.
易错点 用直接开平方法解一元二次方程出现漏解致错
【案例】一元二次方程9x2-1=0的根是(C)
A.x1=x2=3 B.x1=3,x2=-3
C.x1=,x2=- D.x1=x2=
