2.2.2 公式法
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 公式法解一元二次方程
1.(概念应用题)用公式法解方程x2-4x-2=0,其中b2-4ac的值是(B)
A.16 B.24 C.8 D.4
2.(2024·遵义质检)用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是(D)
A.x=-3± B.x=3±
C.x=-3±2 D.x=3±2
3.用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是
2x2+3x-1=0 .
4.方程x2-x-6=0的解为 x1=2,x2=- .
5.(教材再开发·P37练习改编)解方程:
(1)x2-x-4=0;
(2)3x2+4x-2=0;
(3)2x2-3=x(x-4).
【解析】(1)∵x2-x-4=0,
∴a=1,b=-1,c=-4,
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(2)∵a=3,b=4,c=-2,
∴b2-4ac=42-4×3×(-2)=40>0,
则x==,
∴x1=,x2=.
(3)2x2-3=x(x-4),
整理得x2+4x-3=0,∵b2-4ac=42-4×1×(-3)=16+12=28>0,
∴x===-2±,
∴x1=-2+,x2=-2-.
知识点2 公式法解一元二次方程的应用
6.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是(B)
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
7.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则三角形的周长为(B)
A.14 B.12
C.12或14 D.以上都不对
8.(2024·毕节七星关区质检)已知关于x的方程x2+3mx+m2=0的一个根是x=1,那么m= .
9.小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3,若将实数对(x,-3x)放入其中,得到一个新数为5,则x= -3± .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(易错警示题)方程(x-4)(x+1)=1的根为(D)
A.x=4 B.x=-1
C.x=4或x=-1 D.以上都不对
11.方程mx2-4x+1=0(m<0)的根是(B)
A. B.
C. D.
12.若实数范围内定义一种运算“﹡”,使a﹡b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)﹡5=0的解为(D)
A.-2 B.-2,3
C., D.,
13.(易错警示题)已知代数式7x(x+5)与代数式-6x2-37x-9的值互为相反数,则x= 1± .
14.(2024·贵州德江县质检)已知a,b满足|b-2|+=0,则关于x的方程(1-a)x2+bx=2-4a的解是 x1=,x2= .
15.用公式法解下列方程:
(1)(x-2)(x+2)=2x.
(2)y2=4y+1.
【解析】(1)原方程整理可得x2-2x-4=0,
∵a=1,b=-2,c=-4,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=24>0,则x==±,
∴x1=+,x2=-.
(2)原方程整理得3y2-8y-2=0,
∵a=3,b=-8,c=-2,
∴b2-4ac=(-8)2-4×3×(-2)=88>0,
则y==,
∴y1=,y2=.
16.(素养提升题)已知关于x的一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)若x=1是方程的根,求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵x=1是一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0的根,∴(a-c)-2b+(a+c)=0,a≠c,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴b2-4ac=(-2b)2-4(a-c)(a+c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,
∴b2+c2=a2,
∴△ABC是直角三角形.
易错点 用求根公式解一元二次方程时,没有把其化为一般形式
【案例】用公式法解一元二次方程3x2-1=-2x.
【解析】∵3x2-1=-2x,
∴3x2+2x-1=0,
∴a=3,b=2,c=-1,
∴b2-4ax=b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0,∴该方程有两个不相等的实数根,
∴x====,∴x1=-1,x2=.2.2.2 公式法
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 公式法解一元二次方程
1.(概念应用题)用公式法解方程x2-4x-2=0,其中b2-4ac的值是( )
A.16 B.24 C.8 D.4
2.(2024·遵义质检)用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是( )
A.x=-3± B.x=3±
C.x=-3±2 D.x=3±2
3.用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是
.
4.方程x2-x-6=0的解为 .
5.(教材再开发·P37练习改编)解方程:
(1)x2-x-4=0;
(2)3x2+4x-2=0;
(3)2x2-3=x(x-4).
知识点2 公式法解一元二次方程的应用
6.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是( )
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
7.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则三角形的周长为( )
A.14 B.12
C.12或14 D.以上都不对
8.(2024·毕节七星关区质检)已知关于x的方程x2+3mx+m2=0的一个根是x=1,那么m= .
9.小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3,若将实数对(x,-3x)放入其中,得到一个新数为5,则x= .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
10.(易错警示题)方程(x-4)(x+1)=1的根为( )
A.x=4 B.x=-1
C.x=4或x=-1 D.以上都不对
11.方程mx2-4x+1=0(m<0)的根是( )
A. B.
C. D.
12.若实数范围内定义一种运算“﹡”,使a﹡b=(a+1)2-ab,则方程(x+2)﹡5=0的解为( )
A.-2 B.-2,3
C., D.,
13.(易错警示题)已知代数式7x(x+5)与代数式-6x2-37x-9的值互为相反数,则x= .
14.(2024·贵州德江县质检)已知a,b满足|b-2|+=0,则关于x的方程(1-a)x2+bx=2-4a的解是 .
15.用公式法解下列方程:
(1)(x-2)(x+2)=2x.
(2)y2=4y+1.
16.(素养提升题)已知关于x的一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)若x=1是方程的根,求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
易错点 用求根公式解一元二次方程时,没有把其化为一般形式
【案例】用公式法解一元二次方程3x2-1=-2x.
