2.2.3 因式分解法
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 因式分解法解一元二次方程
1.一元二次方程2x2=x的根为(D)
A.x=0 B.x=
C.x=-2 D.x=0或x=
2.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 x1=2,x2=-7 .
3.方程x(3x-2)=4(3x-2)的根为 x1=,x2=4 .
4.当x= -1或-2 时,代数式(x+1)·(x-5)与(3x-1)(x+1)的值相等.
5.(教材再开发·P39T1改编)用因式分解法解方程:
(1)(x-1)2-4=0;
(2)(x+1)2=2(x+1).
【解析】(1)∵(x-1)2-4=0,
∴(x-1)2-22=0,
∴(x-1-2)(x-1+2)=0,
∴(x-3)(x+1)=0,
解得:x1=3,x2=-1.
(2)∵(x+1)2-2(x+1)=0,
∴(x+1)(x-1)=0,则x+1=0或x-1=0,
解得x1=-1,x2=1.
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6.解方程3(9x-2)2=4(9x-2)最适当的方法是(D)
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
7.(阅读理解题)聪聪和明明在解一元二次方程4(2x-1)2-36(x+1)2=0时,采用了不同的方法.
聪聪:将方程移项得,4(2x-1)2=36(x+1)2,
直接开平方得,2(2x-1)=±6(x+1),
解得x1=-4,x2=-.
明明:4(2x-1)2-36(x+1)2=0,
变形得,[2(2x-1)]2-[6(x+1)]2=0,
整理得,(4x-2)2-(6x+6)2=0,
∴-2x-8=0或10x+4=0,
∴x1=-4,x2=-.
试确定:聪聪解方程运用 直接开平方法 ,明明解方程运用 因式分解法 .
8.解方程:
(1)2(1-x)2-8=0;
(2)x2+4x+1=0;
(3)(x+3)(x-1)=5;
(4)2x2-7x+3=0.
【解析】(1)2(1-x)2-8=0,(1-x)2=4,
∴1-x=2或1-x=-2,
∴x1=-1,x2=3;
(2)x2+4x+1=0,x2+4x=-1,
x2+4x+4=3,即(x+2)2=3,
∴x+2=或x+2=-,
∴x1=-2+,x2=-2-;
(3)(x+3)(x-1)=5,
x2+2x-8=0,
(x+4)(x-2)=0,
∴x+4=0或x-2=0,
∴x1=-4,x2=2;
(4)2x2-7x+3=0,
(2x-1)(x-3)=0,
∴2x-1=0或x-3=0,
∴x1=,x2=3.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.若代数式4x2-2x-5与-3x2+2的值互为相反数,则x的值是(C)
A.1或-3 B.1或3
C.-1或3 D.-1或-3
10.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长是(B)
A.12 B.15
C.12或15 D.9或15或18
11.若方程x2-x=0的两根为x1,x2(x112.(易错警示题)已知:关于x的方程x2+px+q=0的两根为4,-3,则代数式x2+px+q可因式分解为 (x-4)(x+3) .
13.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+2)*5=0的解为 x=3或x=-7 .
14.(2024·安顺关岭县期中)用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)2x2-4 x=8;
(2)2x2+x-3=0;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2.
【解析】(1)x2-2 x-4=0,
∵a=1,b=-2 ,c=-4,
∴Δ=(-2 )2-4×1×(-4)=36>0,
∴x==±3,
∴x1=+3,x2=-3;
(2)(2x+3)(x-1)=0,
2x+3=0或x-1=0,
所以x1=-,x2=1;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2,
4(3x-2)=±(x+5),
4(3x-2)=x+5或4(3x-2)=-(x+5),
所以x1=,x2=.
15.(素养提升题)阅读下面的例题与解答过程:
例.解方程x2-|x|-2=0.
解:原方程可化为|x|2-|x|-2=0.
设|x|=y,则y2-y-2=0.
解得y1=2,y2=-1.
当y=2时,|x|=2,∴x=±2;
当y=-1时,|x|=-1,∴无实数解.
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
在上面的解答过程中,我们把|x|看成一个整体,用字母y代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰.这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程:
(1)x2-2|x|=0;
(2)x2-2x-4|x-1|+5=0.
【解析】(1)原方程可化为|x|2-2|x|=0,
设|x|=y,则y2-2y=0.∴y(y-2)=0,
解得y1=0,y2=2.
当y=0时,|x|=0,∴x=0;
当y=2时,∴x=±2;
∴原方程的解是x1=0,x2=-2,x3=2.
(2)原方程可化为|x-1|2-4|x-1|+4=0.
设|x-1|=y,则y2-4y+4=0,解得y1=y2=2.即|x-1|=2,∴x=-1或x=3.
∴原方程的解是x1=-1,x2=3.
易错点 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0
【案例】解方程(x-1)(x-3)=8.
【解析】∵(x-1)(x-3)=8,
∴x2-4x-5=0,
∴(x-5)(x+1)=0,
即x-5=0或x+1=0,
解得x1=5,x2=-1.2.2.3 因式分解法
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 因式分解法解一元二次方程
1.一元二次方程2x2=x的根为( )
A.x=0 B.x=
C.x=-2 D.x=0或x=
2.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 .
3.方程x(3x-2)=4(3x-2)的根为 .
4.当x= 时,代数式(x+1)·(x-5)与(3x-1)(x+1)的值相等.
5.(教材再开发·P39T1改编)用因式分解法解方程:
(1)(x-1)2-4=0;
(2)(x+1)2=2(x+1).
知识点2 选择适当的方法解一元二次方程
6.解方程3(9x-2)2=4(9x-2)最适当的方法是( )
A.直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
7.(阅读理解题)聪聪和明明在解一元二次方程4(2x-1)2-36(x+1)2=0时,采用了不同的方法.
聪聪:将方程移项得,4(2x-1)2=36(x+1)2,
直接开平方得,2(2x-1)=±6(x+1),
解得x1=-4,x2=-.
明明:4(2x-1)2-36(x+1)2=0,
变形得,[2(2x-1)]2-[6(x+1)]2=0,
整理得,(4x-2)2-(6x+6)2=0,
∴-2x-8=0或10x+4=0,
∴x1=-4,x2=-.
试确定:聪聪解方程运用 ,明明解方程运用 .
8.解方程:
(1)2(1-x)2-8=0;
(2)x2+4x+1=0;
(3)(x+3)(x-1)=5;
(4)2x2-7x+3=0.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.若代数式4x2-2x-5与-3x2+2的值互为相反数,则x的值是( )
A.1或-3 B.1或3
C.-1或3 D.-1或-3
10.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长是( )
A.12 B.15
C.12或15 D.9或15或18
11.若方程x2-x=0的两根为x1,x2(x112.(易错警示题)已知:关于x的方程x2+px+q=0的两根为4,-3,则代数式x2+px+q可因式分解为 .
13.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+2)*5=0的解为 .
14.(2024·安顺关岭县期中)用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)2x2-4 x=8;
(2)2x2+x-3=0;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2.
15.(素养提升题)阅读下面的例题与解答过程:
例.解方程x2-|x|-2=0.
解:原方程可化为|x|2-|x|-2=0.
设|x|=y,则y2-y-2=0.
解得y1=2,y2=-1.
当y=2时,|x|=2,∴x=±2;
当y=-1时,|x|=-1,∴无实数解.
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
在上面的解答过程中,我们把|x|看成一个整体,用字母y代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰.这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程,利用换元法解下列方程:
(1)x2-2|x|=0;
(2)x2-2x-4|x-1|+5=0.
易错点 用因式分解法解一元二次方程时忽略等号右边应为0
【案例】解方程(x-1)(x-3)=8.
