2.3 一元二次方程根的判别式
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 判断一元二次方程根的情况
1.(概念应用题)(2023·吉林中考)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是(C)
A.33 B.23
C.17 D.
2.对于一元二次方程5x2+13x-3=0,下列说法正确的是(C)
A.方程无实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程有两个不相等的实数根
D.方程的根无法确定
3.(2024·黔西南州安龙县期中)方程4x2=3(4x-3)的根的情况是 有两个相等的实数根 .
知识点2 根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围
4.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为(C)
A.-9 B.-
C. D.9
5.已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(D)
A.a≥-4
B.a>-4
C.a≥-4且a≠0
D.a>-4且a≠0
6.关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围为
k> .
7.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0.求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
【证明】∵Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2-2)=4k2+4k+1-2k2+8=2k2+4k+9
=2(k+1)2+7>0,
∵无论k为何实数,2(k+1)2≥0,
∴2(k+1)2+7>0,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
8.关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+(m-2)=0.
(1)求证:无论m取何值,方程总有实数根;
(2)已知方程有一根大于6,求m的取值范围.
【解析】(1)Δ=[-(m-1)]2-4×1×(m-2)
=m2-2m+1-4m+8
=m2-6m+9
=(m-3)2≥0,
∴无论m取何值,方程总有实数根;
(2)由求根公式得x==
,∴x1=1,x2=m-2,
∵方程有一根大于6,
∴m-2>6,解得m>8.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.当4q>p2时,关于x的一元二次方程x2-px+q=0的根的情况为(B)
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
10.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(D)
A.m≥0且m≠1 B.m>0
C.m≥0 D.m>0且m≠1
11.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)=(A)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
12.(2023·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是(B)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
13.(2023·金昌中考)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= 0(答案不唯一) (写出一个满足条件的值).
14.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个实数根,则满足条件的整数m的最小值是 0 .
15.若k=2,则关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的实数根的个数为 2 .
16.(素养提升题)已知:关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0.
(1)判断方程的根的情况;
(2)若△ABC为等腰三角形,AB=3 cm,另外两条边长是方程的根,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵Δ=(-2m)2-4(m2-1)=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.
(2)x==m±1,
∴x1=m+1,x2=m-1,
当m+1=3时,解得m=2,此时等腰三角形的三边长分别为3,3,1,△ABC的周长为7;
当m-1=3时,解得m=4,此时等腰三角形的三边长分别为3,3,5,△ABC的周长为3+3+5=11.
综上所述,△ABC的周长为7或11.
易错点 根据一元二次方程根的情况,求字母的取值范围时,忽略一元二次方程的二次项系数不为0
【案例1】若关于x的方程kx2-x+=0有两个实数根,则实数k的取值范围是(D)
A.k<1 B.k<1且k≠0
C.k≤1 D.k≤1且k≠0
【案例2】已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 m≤5且m≠4 . 2.3 一元二次方程根的判别式
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 判断一元二次方程根的情况
1.(概念应用题)(2023·吉林中考)一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是( )
A.33 B.23
C.17 D.
2.对于一元二次方程5x2+13x-3=0,下列说法正确的是( )
A.方程无实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程有两个不相等的实数根
D.方程的根无法确定
3.(2024·黔西南州安龙县期中)方程4x2=3(4x-3)的根的情况是 .
知识点2 根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围
4.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )
A.-9 B.-
C. D.9
5.已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.a≥-4
B.a>-4
C.a≥-4且a≠0
D.a>-4且a≠0
6.关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围为
.
7.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0.求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
8.关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+(m-2)=0.
(1)求证:无论m取何值,方程总有实数根;
(2)已知方程有一根大于6,求m的取值范围.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.当4q>p2时,关于x的一元二次方程x2-px+q=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
10.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥0且m≠1 B.m>0
C.m≥0 D.m>0且m≠1
11.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)=( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
12.(2023·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是( )
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
13.(2023·金昌中考)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c= (写出一个满足条件的值).
14.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个实数根,则满足条件的整数m的最小值是 .
15.若k=2,则关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的实数根的个数为 .
16.(素养提升题)已知:关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0.
(1)判断方程的根的情况;
(2)若△ABC为等腰三角形,AB=3 cm,另外两条边长是方程的根,求△ABC的周长.
易错点 根据一元二次方程根的情况,求字母的取值范围时,忽略一元二次方程的二次项系数不为0
【案例1】若关于x的方程kx2-x+=0有两个实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k<1 B.k<1且k≠0
C.k≤1 D.k≤1且k≠0
【案例2】已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .
