2.5 一元二次方程的应用
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决增长率类问题
1.某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为148元,下列所列方程正确的是( )
A.200(1+a%)2=148
B.200(1-a%)2=148
C.200(1-2a%)=148
D.200(1-a2%)=148
2.(2023·邵阳中考)某校截止到2022年底,校园绿化面积为1 000平方米.为美化环境,该校计划2024年底绿化面积达到1 440平方米.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方程为 .
3.(教材再开发·P50T1拓展)(2024·铜仁印江县期末)新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具,某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计,该品牌新能源汽车1月份销售150辆,3月份销售216辆.
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率;
(2)若该品牌新能源汽车的进价为6.3万元/辆,售价为6.8万元/辆,则该经销商1至3月份共盈利多少万元
知识点2 列一元二次方程解决有关利润的问题
4.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:每件商品降价 20 元时,商场日盈利可达到2 100元.
5.(生活情境题)(2024·黔东南州天柱县质检)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40~60元内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少 这时应进台灯多少个
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则八年级班级的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.(易错警示题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该产品的质量档次是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.某工厂两年里的产量增加了44%,那么平均每年比上一年增加的百分比为 .
9.距期末考试还有20天的时候,为鼓舞干劲,班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言,请问该学习小组共有学生 人.
10.(2024·黔西南州兴义市质检)某市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2 090元,则这种干果每千克应降价多少元
易错点 对方程应用题的解没有进行检验而直接作答
【案例】(2024·安顺关岭县期末)某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率;
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6 000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元 2.5 一元二次方程的应用
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决面积类问题
1.(2024·铜仁石阡县质检)某小区计划在一块长32 m、宽20 m的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图),剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是( )
A.32×20-3x2=570
B.(32-x)(20-x)=570
C.(32-2x)(20-x)=570
D.3x2=570
2.(传统数学文化)我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各多少步 设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为 .
3.如图,某中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地,计划在这块空地面积的一半区域种花,其余部分硬化.小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域种花,求花带的宽度x的值.
知识点2 一元二次方程在动点问题中的应用
4.(2024·黔东南州从江县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,动点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B匀速移动,同时,点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C匀速移动,当P,Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动.运动 s后,△PBQ面积为5 cm2( )
A.0.5 B.1 C.5 D.1或5
5.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于( )
A.0.5 cm B.1 cm
C.1.5 cm D.2 cm
6.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为
s.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.一个两位数,十位数字与个位数字之和为9,且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍,这个两位数是( )
A.36 B.63
C.36或63 D.-36或-63
8.如图,把长40 cm,宽30 cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是950 cm2,则x的值是( )
A.3 cm B.4 cm
C.4.8 cm D.5 cm
9.(2024·遵义期末)如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.为了宣传垃圾分类,童威写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为 .
11.(易错警示题)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,经过 s后△DPQ的面积等于28 cm2.
12.如图,用一条长为20 m的绳子围成矩形ABCD,设边AB的长为x m.
(1)直接写出AD的长和矩形ABCD的面积(用代数式表示);
(2)矩形ABCD的面积是否可以是60 m2 请给出你的结论,并用所学知识说明理由.
易错点 忽视实际意义而致错
【案例】有一只鸡患了禽流感,经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感,每轮传染中平均一只鸡传染 只鸡.( )
A.22 B.24 C.25 D.262.5 一元二次方程的应用
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决面积类问题
1.(2024·铜仁石阡县质检)某小区计划在一块长32 m、宽20 m的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图),剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是(C)
A.32×20-3x2=570
B.(32-x)(20-x)=570
C.(32-2x)(20-x)=570
D.3x2=570
2.(传统数学文化)我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各多少步 设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为 x(x+12)=864 .
3.如图,某中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地,计划在这块空地面积的一半区域种花,其余部分硬化.小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域种花,求花带的宽度x的值.
【解析】花带的宽度为x m,则硬化的部分长为(30-2x)m,宽为(20-x)m,
依题意得(30-2x)(20-x)=30×20×,
整理得x2-35x+150=0,
解得x1=5,x2=30.
当x=5时,30-2x=30-2×5=20>0,符合题意;
当x=30时,30-2x=30-2×30=-30<0,不符合题意,舍去.∴x的值为5.
知识点2 一元二次方程在动点问题中的应用
4.(2024·黔东南州从江县质检)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,动点P从点A出发沿AB边以1 cm/s的速度向点B匀速移动,同时,点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C匀速移动,当P,Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动.运动 s后,△PBQ面积为5 cm2(B)
A.0.5 B.1 C.5 D.1或5
5.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2,则它移动的距离AA'等于(B)
A.0.5 cm B.1 cm
C.1.5 cm D.2 cm
6.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为
2 s.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.一个两位数,十位数字与个位数字之和为9,且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍,这个两位数是(C)
A.36 B.63
C.36或63 D.-36或-63
8.如图,把长40 cm,宽30 cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为x cm(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是950 cm2,则x的值是(D)
A.3 cm B.4 cm
C.4.8 cm D.5 cm
9.(2024·遵义期末)如图所示,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n的值为(B)
A.10 B.11 C.12 D.13
10.为了宣传垃圾分类,童威写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为 10 .
11.(易错警示题)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,经过 2或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.
12.如图,用一条长为20 m的绳子围成矩形ABCD,设边AB的长为x m.
(1)直接写出AD的长和矩形ABCD的面积(用代数式表示);
(2)矩形ABCD的面积是否可以是60 m2 请给出你的结论,并用所学知识说明理由.
【解析】(1)根据题意,知边AD的长为(10-x)m,
矩形ABCD的面积为(10-x)x=(-x2+10x)m2;
(2)若矩形ABCD的面积是60 m2,则-x2+10x=60.
∵Δ=b2-4ac=-140<0,
∴这个方程无解,
∴矩形ABCD的面积不可以是60 m2.
易错点 忽视实际意义而致错
【案例】有一只鸡患了禽流感,经过两轮传染后共有625只鸡患了禽流感,每轮传染中平均一只鸡传染 只鸡.(B)
A.22 B.24 C.25 D.262.5 一元二次方程的应用
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 列一元二次方程解决增长率类问题
1.某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为148元,下列所列方程正确的是(B)
A.200(1+a%)2=148
B.200(1-a%)2=148
C.200(1-2a%)=148
D.200(1-a2%)=148
2.(2023·邵阳中考)某校截止到2022年底,校园绿化面积为1 000平方米.为美化环境,该校计划2024年底绿化面积达到1 440平方米.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方程为 1 000(1+x)2=1 440 .
3.(教材再开发·P50T1拓展)(2024·铜仁印江县期末)新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具,某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计,该品牌新能源汽车1月份销售150辆,3月份销售216辆.
(1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率;
(2)若该品牌新能源汽车的进价为6.3万元/辆,售价为6.8万元/辆,则该经销商1至3月份共盈利多少万元
【解析】(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x,
根据题意,得150(1+x)2=216,
所以(1+x)2=1.44,
解得x1=0.2,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20%.
(2)2月份销售该品牌新能源汽车150×(1+20%)=180(辆),
(150+180+216)×(6.8-6.3)=273(万元).
答:该经销商1至3月份共盈利273万元.
知识点2 列一元二次方程解决有关利润的问题
4.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:每件商品降价 20 元时,商场日盈利可达到2 100元.
5.(生活情境题)(2024·黔东南州天柱县质检)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40~60元内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少 这时应进台灯多少个
【解析】设售价定为x元,
[600-10(x-40)](x-30)=10 000,
整理,得x2-130x+4 000=0,
解得x1=50,x2=80(舍去).
600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个).
答:台灯的售价定为50元,能实现平均每月10 000元的销售利润,这时应进台灯500个.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则八年级班级的个数为(B)
A.5 B.6 C.7 D.8
7.(易错警示题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1 120元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该产品的质量档次是(A)
A.6 B.8 C.10 D.12
8.某工厂两年里的产量增加了44%,那么平均每年比上一年增加的百分比为 20% .
9.距期末考试还有20天的时候,为鼓舞干劲,班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言,请问该学习小组共有学生 6 人.
10.(2024·黔西南州兴义市质检)某市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2 090元,则这种干果每千克应降价多少元
【解析】(1)设一次函数的关系式为y=kx+b,
当x=2时,y=120;当x=4时,y=140;
∴,解得,
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100;
(2)由题意得,
(60-40-x)(10 x+100)=2 090,
整理得,x2-10x+9=0,
解得x1=1,x2=9,
∵让顾客得到更大的实惠,
∴x=9,
答:商贸公司要想获利2 090元,则这种干果每千克应降价9元.
易错点 对方程应用题的解没有进行检验而直接作答
【案例】(2024·安顺关岭县期末)某水果商场经销一种高档水果,原价每千克50元,连续两次降价后每千克32元,若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率;
(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6 000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元
【解析】(1)设每次下降的百分率为a,根据题意,得50(1-a)2=32,
解得a=1.8(舍)或a=0.2,
答:每次下降的百分率为20%;
(2)设每千克应涨价x元,由题意,得
(10+x)(500-20x)=6 000,
整理,得 x2-15x+50=0,
解得x1=5,x2=10,
因为要尽快减少库存,所以x=5符合题意.
答:该商场要保证每天盈利6 000元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价5元.
