3.1.2 成比例线段
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 线段的比
1.已知M是线段AB延长线上一点,且AM∶BM=5∶2,则AB∶BM为(A)
A.3∶2 B.2∶3
C.3∶5 D.5∶2
2.在Rt△ABC中,斜边AB=205,=,试求AC,BC的值.
【解析】设AC=9x,BC=40x,
根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2,
即(9x)2+(40x)2=2052,
解得x=5.
∴AC=45,BC=200.
知识点2 成比例线段
3.下列各组线段中是成比例线段的是(B)
A.2 cm,4 cm,6 cm,6 cm
B.2 cm,4 cm,4 cm,8 cm
C.4 cm,8 cm,12 cm,16 cm
D.3 cm,6 cm,9 cm,12 cm
4.(2024·毕节咸宁县期末)若线段a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=4 cm,c=3 cm,则d=(A)
A.6 cm B. cm
C.1.5 cm D.3 cm
5.在1∶38 000的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7 cm,则它的实际长度是
2.66 km.
6.已知a,b,c,d四条线段依次成比例,其中a=3 cm,b=(x-1) cm,c=5 cm,d=(x+1) cm.求x的值.
【解析】∵a,b,c,d四条线段依次成比例,
∴a∶b=c∶d.
∵a=3 cm,b=(x-1) cm,c=5 cm,d=(x+1) cm,
∴3∶=5∶,∴x=4 cm.
故x的值为4 cm.
知识点3 黄金分割
7.若线段AB=2,且点C是AB的黄金分割点,则BC等于(D)
A.-1 B.3-
C. D.-1或3-
8.如图,2022年国际乒联世界乒乓球团体锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成☉A,熊猫的身体画成☉B,☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,若☉B的直径为4,请计算☉A的周长.
【解析】∵☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,☉B的直径为4,
∴☉A的直径为×4=2-2,
∴☉A的周长为(2-2)π.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.已知a=0.2,b=1.6,c=4,d=0.5,则下列各式中正确的是(C)
A.a∶b=c∶d B.a∶c=d∶b
C.a∶b=d∶c D.b∶a=d∶c
10.(2023·绵阳中考)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则AB=(D)
A.(-1)a B.(2 -2)a
C.(+1)a D.(2 +2)a
11.(2024·铜仁德江县期末)已知P是线段AB上一点,且AP∶PB=2∶5,则AB∶PB=
7∶5 .
12.若点C是线段AB的黄金分割点,AB=20 cm,则AC的长约是 12.4 cm或
7.6 cm .(精确到0.1 cm)
13.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足==,a+b+c=12,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】△ABC是直角三角形,理由是:
设===k,
则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8,
∵a+b+c=12,
∴3k-4+2k-3+4k-8=12,
∴k=3,∴a=5,b=3,c=4,
∴b2+c2=32+42=25=a2,
∴△ABC是直角三角形.
14.我们通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”.在△ABC中,已知:AB=AC,且∠B=36°,请用两种不同的尺规作图在BC上找点D,使得△ABD是黄金三角形,并说明其中一种做法的理由.
【解析】①在线段BC上截取BD=BA,连接AD,如图1所示:
则△ABD即为所求,理由如下:
∵BD=BA,∠B=36°,
∴△ABD为黄金三角形;
②在∠BAC的内部作∠CAD=∠C,交BC于点D,如图2所示:
则△ABD即为所求,理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠B=36°,
∴∠CAD=∠C=36°,∠BAC=180°-36°-36°=108°,∴∠ADB=∠C+∠CAD=72°,
∠BAD=∠BAC-∠CAD=72°,
∴∠ADB=∠BAD,∴BA=BD,
又∵∠B=36°,∴△ABD是黄金三角形.
易错点 确定成比例线段时,忽略顺序而出错
【案例】已知三条线段的长分别为1 cm,2 cm, cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,那么另外一条线段的长为 2 cm或 cm或 cm . 3.1.2 成比例线段
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 线段的比
1.已知M是线段AB延长线上一点,且AM∶BM=5∶2,则AB∶BM为( )
A.3∶2 B.2∶3
C.3∶5 D.5∶2
2.在Rt△ABC中,斜边AB=205,=,试求AC,BC的值.
知识点2 成比例线段
3.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A.2 cm,4 cm,6 cm,6 cm
B.2 cm,4 cm,4 cm,8 cm
C.4 cm,8 cm,12 cm,16 cm
D.3 cm,6 cm,9 cm,12 cm
4.(2024·毕节咸宁县期末)若线段a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=4 cm,c=3 cm,则d=( )
A.6 cm B. cm
C.1.5 cm D.3 cm
5.在1∶38 000的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7 cm,则它的实际长度是
km.
6.已知a,b,c,d四条线段依次成比例,其中a=3 cm,b=(x-1) cm,c=5 cm,d=(x+1) cm.求x的值.
知识点3 黄金分割
7.若线段AB=2,且点C是AB的黄金分割点,则BC等于( )
A.-1 B.3-
C. D.-1或3-
8.如图,2022年国际乒联世界乒乓球团体锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成☉A,熊猫的身体画成☉B,☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,若☉B的直径为4,请计算☉A的周长.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.已知a=0.2,b=1.6,c=4,d=0.5,则下列各式中正确的是( )
A.a∶b=c∶d B.a∶c=d∶b
C.a∶b=d∶c D.b∶a=d∶c
10.(2023·绵阳中考)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则AB=( )
A.(-1)a B.(2 -2)a
C.(+1)a D.(2 +2)a
11.(2024·铜仁德江县期末)已知P是线段AB上一点,且AP∶PB=2∶5,则AB∶PB=
.
12.若点C是线段AB的黄金分割点,AB=20 cm,则AC的长约是 .(精确到0.1 cm)
13.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足==,a+b+c=12,试判断△ABC的形状,并说明理由.
14.我们通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”.在△ABC中,已知:AB=AC,且∠B=36°,请用两种不同的尺规作图在BC上找点D,使得△ABD是黄金三角形,并说明其中一种做法的理由.
易错点 确定成比例线段时,忽略顺序而出错
【案例】已知三条线段的长分别为1 cm,2 cm, cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,那么另外一条线段的长为 .
