3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似
1.(概念应用题)(2024·铜仁松桃县期末)如图所示,△ABC中,DE∥BC,AD=5,
BD=10,DE=6,则BC的值为( )
A.6 B.12
C.18 D.24
2.如图,点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式中不成立的是( )
A.= B.=
C.= D.=
3.如图,△ABC中,EF∥BC,AD交EF于G,已知EG=2,GF=3,BD=5,则DC= .
知识点2 相似三角形的判定定理1
4.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是DC,BC边上的点,且∠AEF=90°,则下列结论正确的是( )
A.△ABF∽△AEF B.△ABF∽△CEF
C.△CEF∽△DAE D.△DAE∽△BAF
5.(2024·毕节大方县期末)如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
6.(教材再开发·P80T2改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似的三角形对数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2024·铜仁玉屏县期中)如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点F,图中与△BEF相似的三角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,在平行四边形ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的相似三角形共有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
10.(2024·黔东南州质检)如图∠DAB=∠CAE,请补充一个条件: ,使△ABC∽△ADE.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,则CD= .
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为 .
13.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠DAC=∠B.点E在AD边上,CD=CE.
(1)求证:△ABD∽△CAE;
(2)若AB=9,AC=BD=6,求AE的长.
易错点 对应关系不明确导致漏解
【案例】如图,正方形ABCD的边长是4,BE=CE,MN=2,线段MN的两端点在CD,AD上滑动,当DM为多长时,△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似 请说明理由.3.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似
1.(概念应用题)(2024·铜仁松桃县期末)如图所示,△ABC中,DE∥BC,AD=5,
BD=10,DE=6,则BC的值为(C)
A.6 B.12
C.18 D.24
2.如图,点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F,则下列等式中不成立的是(C)
A.= B.=
C.= D.=
3.如图,△ABC中,EF∥BC,AD交EF于G,已知EG=2,GF=3,BD=5,则DC= .
知识点2 相似三角形的判定定理1
4.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是DC,BC边上的点,且∠AEF=90°,则下列结论正确的是(C)
A.△ABF∽△AEF B.△ABF∽△CEF
C.△CEF∽△DAE D.△DAE∽△BAF
5.(2024·毕节大方县期末)如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
6.(教材再开发·P80T2改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
【证明】∵BE=BC,
∴∠C=∠CEB,
∵∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED,
∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°,
∴△ADE∽△ABC.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似的三角形对数为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2024·铜仁玉屏县期中)如图,在△ABC中,高BD,CE相交于点F,图中与△BEF相似的三角形共有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,在平行四边形ABCD中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的相似三角形共有(D)
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
10.(2024·黔东南州质检)如图∠DAB=∠CAE,请补充一个条件: ∠D=∠B(答案不唯一) ,使△ABC∽△ADE.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,则CD= 2 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点P为BC边上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为 .
13.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠DAC=∠B.点E在AD边上,CD=CE.
(1)求证:△ABD∽△CAE;
(2)若AB=9,AC=BD=6,求AE的长.
【解析】(1)∵CD=CE,∴∠CED=∠CDE.
∵∠CED=∠EAC+∠ACE,∠CDE=∠BAD+∠B,又∠DAC=∠B,
∴∠ACE=∠BAD,∵∠DAC=∠B.∴△ABD∽△CAE.
(2)见全解全析
易错点 对应关系不明确导致漏解
【案例】如图,正方形ABCD的边长是4,BE=CE,MN=2,线段MN的两端点在CD,AD上滑动,当DM为多长时,△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似 请说明理由.
【解析】当DM=或时,△ABE与以点D,M,N为顶点的三角形相似,
理由:∵正方形ABCD的边长是4,BE=CE,∴BE=2,∴AE==2,
①假设△ABE∽△NDM,
∴DM∶BE=MN∶AE.
∴DM∶2=2∶2,∴DM=.
②假设△ABE∽△MDN,
∴DM∶BA=MN∶AE.
∴DM∶4=2∶2,∴DM=.
综上所述,DM=或.
