3.4.1 相似三角形的判定
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的判定定理3
1.已知△ABC三边长是,,2,与△ABC相似的三角形三边长可能是( )
A.1,,
B.1,,
C.1,,
D.1,,
2.一个三角形木架三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60 cm和120 cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
3.(2024·遵义务川县期末)如图所示,在边长为1的正方形网格中相似的两个三角形是 (填序号).
4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
知识点2 相似三角形判定定理的综合应用
5.如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且==,则图中有几对相似三角形,并加以证明.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.(易错警示题)如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x,那么x的值( )
A.只有1个 B.可以有2个
C.可以有3个 D.无数个
7.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判定它们相似的是( )
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3A'B',BC=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3,4,△A'B'C'有两边长为6,8
8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,则在下列五个条件中:
①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD·BC=DE·AC;
⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2024·安顺西秀区期末)如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D,E都是小正方形的顶点,则图中所形成的三角形中,与△ABC相似的三角形是 .
10.如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(5,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .
11.(2024·遵义仁怀市质检)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 .
12.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
13.如图,AB∥CD,且AB=2CD,E是AB的中点,F是边BC上的动点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:△EDM∽△FBM;
(2)若F是BC的中点,BD=12,求BM的长;
(3)若AD=BC,BD平分∠ABC,点P是线段BD上的动点,是否存在点P使DP·BP=BF·CD,若存在,求出∠CPF的度数;若不存在,请说明理由.3.4.1 相似三角形的判定
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 相似三角形的判定定理3
1.已知△ABC三边长是,,2,与△ABC相似的三角形三边长可能是(A)
A.1,,
B.1,,
C.1,,
D.1,,
2.一个三角形木架三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60 cm和120 cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有(B)
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
3.(2024·遵义务川县期末)如图所示,在边长为1的正方形网格中相似的两个三角形是 ①与③ (填序号).
4.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求证:△ABC∽△EFD.
【证明】∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DF,EF,DE是△ABC的中位线,
∴DF=BC,EF=AB,DE=AC,
∴===,∴△ABC∽△EFD.
知识点2 相似三角形判定定理的综合应用
5.如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且==,则图中有几对相似三角形,并加以证明.
【解析】题图中有4对相似三角形,
∵==,∴△ABC∽△AED,
∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD;
∵=,∴=.
∵∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ACD.
∵△ABC∽△AED,∴∠ADE=∠ACB,
∵∠AFD=∠BFC,∴△DAF∽△CBF.
∵△ABE∽△ACD,∴∠ABF=∠ACD,
∵∠AFB=∠DFC,∴△ABF∽△DCF.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.(易错警示题)如果一个直角三角形的两条边分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x,那么x的值(B)
A.只有1个 B.可以有2个
C.可以有3个 D.无数个
7.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判定它们相似的是(D)
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3A'B',BC=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3,4,△A'B'C'有两边长为6,8
8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,则在下列五个条件中:
①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD·BC=DE·AC;
⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.(2024·安顺西秀区期末)如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D,E都是小正方形的顶点,则图中所形成的三角形中,与△ABC相似的三角形是 △DEB .
10.如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(5,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 5 .
11.(2024·遵义仁怀市质检)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6,则AB的长为 4 .
12.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA;
(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM==13,AD=12,
∵F是AM的中点,∴AF=AM=6.5,
∵△ABM∽△EFA,
∴=,即=,
∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.
13.如图,AB∥CD,且AB=2CD,E是AB的中点,F是边BC上的动点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:△EDM∽△FBM;
(2)若F是BC的中点,BD=12,求BM的长;
(3)若AD=BC,BD平分∠ABC,点P是线段BD上的动点,是否存在点P使DP·BP=BF·CD,若存在,求出∠CPF的度数;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵AB=2CD,点E是AB的中点,∴DC=EB.又∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∴ED∥BC.∴∠EDB=∠FBM.
又∵∠DME=∠BMF,∴△EDM∽△FBM;
(2)∵△EDM∽△FBM,∴=,
∵F是BC的中点,∴DE=BC=2BF,
∴DM=2BM,∴DB=DM+BM=3BM,
∵DB=12,∴BM=DB=×12=4;
(3)见全解全析
