3.5 相似三角形的应用
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 利用相似三角形计算物体的宽度
1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC(单位:cm),AB的长为10 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是(A)
A. cm B. cm C.7 cm D.6 cm
2.(2023·镇江中考)如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6 cm,则AB等于 18 cm.
知识点2 利用相似三角形计算物体的高度
3.(生活情境题)一个油桶高0.8 m,桶内有油,一根长1 m的木棒从桶盖小口插入桶内,一端到达桶底,另一端恰好在小口处,抽出木棒量得浸油部分长0.8 m,则油桶内的油的高度是(B)
A.0.8 m B.0.64 m C.1 m D.0.7 m
4.(2024·安顺西秀区模拟)在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为(C)
A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米
5.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是 8 米.
6.(教材再开发·P93练习第2题改编)某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板CDE,保持斜边CE与地面BF平行,延长CE交AB于点G,如图,沿着射线CD的方向观察,刚好看到旗杆的顶端A点,已知该同学的身高CF为1.6 m,点F到旗杆底端的距离BF为12 m,CE=
50 cm,CD=40 cm,求旗杆AB的高度.
【解析】由题意得:CF⊥BF,AB⊥BF,CG⊥AB,∴∠BFC=∠ABF=∠BGC=90°,∴四边形CFBG是矩形,∴CG=FB=12 m,CF=GB=1.6 m,∵∠CDE=90°,CE=
50 cm,CD=40 cm,∴DE===30 cm,∵∠CDE=∠CGA=90°,
∠DCE=∠ACG,∴△CDE∽△CGA,∴=,
∴=,∴GA=9 m,
∴AB=AG+BG=9+1.6=10.6 (m).
答:旗杆AB的高度为10.6 m.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒50 cm处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为10 cm,蜡烛长为15 cm,则这支蜡烛所成像的高度为(B)
A.2.5 cm B.3 cm
C.3.75 cm D.5 cm
8.(传统文化题)《九章算术》中记载:“今有邑方不知大小,各开中门,出北门四十步有木,出西门八百一十步见木,问:邑方几何 ”译文:一座正方形城池北边、西边正中A,C处各开一道门,从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处,若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树,则正方形城池的边长为(A)
A.360步 B.270步 C.180步 D.90步
9.(2023·南京中考)如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60 cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90 cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是(A)
A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm
10.(2023·毕节七星关区二模)如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树,小华站在离南岸20 m的点P处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为18.5 m,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为 108 m.
11.如图,为了测量山峰AB的高度,在D处和F处竖立标杆DC和FE,标杆的高度都是4 m,两杆相隔50 m,并且A,B,C,D,E,F都在同一平面内,从标杆DC退后2 m到G处,可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上,从标杆EF退后4 m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上,求山峰AB的高度.
【解析】∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,
∴AB∥CD∥EF,
∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
∴=,=,
∵CD=EF=4 m,DG=2 m,FH=4 m,
∴=,=,
∴=,∴BD=50 m,
∴=,∴AB=104 m.
答:山峰AB的高度为104 m.
模型1 利用阳光下的影子:(如图1)
图1
图2
物1高∶物2高=影1长∶影2长
模型2 利用标杆测量高度:(如图2)
△AEM∽△ACN:=
模型3 利用镜子的反射:(如图3)
图3
△ABE∽△CDE:=3.5 相似三角形的应用
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 利用相似三角形计算物体的宽度
1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC(单位:cm),AB的长为10 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是( )
A. cm B. cm C.7 cm D.6 cm
2.(2023·镇江中考)如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6 cm,则AB等于 cm.
知识点2 利用相似三角形计算物体的高度
3.(生活情境题)一个油桶高0.8 m,桶内有油,一根长1 m的木棒从桶盖小口插入桶内,一端到达桶底,另一端恰好在小口处,抽出木棒量得浸油部分长0.8 m,则油桶内的油的高度是( )
A.0.8 m B.0.64 m C.1 m D.0.7 m
4.(2024·安顺西秀区模拟)在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为( )
A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米
5.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是 米.
6.(教材再开发·P93练习第2题改编)某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板CDE,保持斜边CE与地面BF平行,延长CE交AB于点G,如图,沿着射线CD的方向观察,刚好看到旗杆的顶端A点,已知该同学的身高CF为1.6 m,点F到旗杆底端的距离BF为12 m,CE=
50 cm,CD=40 cm,求旗杆AB的高度.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒50 cm处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为10 cm,蜡烛长为15 cm,则这支蜡烛所成像的高度为( )
A.2.5 cm B.3 cm
C.3.75 cm D.5 cm
8.(传统文化题)《九章算术》中记载:“今有邑方不知大小,各开中门,出北门四十步有木,出西门八百一十步见木,问:邑方几何 ”译文:一座正方形城池北边、西边正中A,C处各开一道门,从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处,若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树,则正方形城池的边长为( )
A.360步 B.270步 C.180步 D.90步
9.(2023·南京中考)如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60 cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90 cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是( )
A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm
10.(2023·毕节七星关区二模)如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树,小华站在离南岸20 m的点P处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为18.5 m,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为 m.
11.如图,为了测量山峰AB的高度,在D处和F处竖立标杆DC和FE,标杆的高度都是4 m,两杆相隔50 m,并且A,B,C,D,E,F都在同一平面内,从标杆DC退后2 m到G处,可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上,从标杆EF退后4 m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上,求山峰AB的高度.
模型1 利用阳光下的影子:(如图1)
图1
图2
物1高∶物2高=影1长∶影2长
模型2 利用标杆测量高度:(如图2)
△AEM∽△ACN:=
模型3 利用镜子的反射:(如图3)
图3
△ABE∽△CDE:=
