3.6 位似
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 利用位似计算点的坐标
1.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
2.(概念应用题)如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标为( )
A.(-1,-1) B. (-,-1)
C. (-1,-) D.(-2,-1)
3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(-3,2) D.(3,-2)
4.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,-2),以原点O为位似中心,把△ABO扩大为原来的2倍,则点B的对应点B'的坐标是 .
知识点2 根据点的坐标画位似图形
5.(教材再开发·P99练习改编)(2024·铜仁思南县期末)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 .
(2)以原点O为位似中心,将△ABC放大,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1,请在网格内画出△A1B1C1.
(3)求出△A1B1C1的面积.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图.在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5),(0,5),(0,-1),(4,-1).若线段AB和CD是位似图形,位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为( )
A.(0,1) B. (0,) C. (0,) D.(0,3)
7.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是( )
A.1 B.2 C.2 D.
8.(2023·本溪中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2),若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍,则第一象限内点B'的坐标为 .
9.(2024·六盘水质检)如图,已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形,P是位似中心,若点A的坐标为(0,6),点E的坐标为(2,3),则点B的坐标为 .
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)①以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1.
②画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2.
(2)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形,若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标;若不是,请说明理由.
易错点 位似中的漏解
【案例】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心,将△OAB扩大为原来的4倍,则点A的对应点的坐标是( )
A. (,1)
B. (-,-1)
C.(8,16)或(-16,-8)
D.(8,16)或(-8,-16)3.6 位似
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 位似图形
1.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是(A)
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
2.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,位似比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是(B)
A.4 B.6 C.9 D.16
3.如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'位似,位似比k1=2,四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″位似,位似比k2=1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗 位似比是多少
【解析】见全解全析
知识点2 位似图形的画法
4.如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是(A)
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(2024铜仁碧江区期中)如图所示,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形,且位似比为2∶1.
【解析】如图,连接DO延长DO到D',使得OD'=2OD,连接AO,延长AO到A',使得OA'=2OA,连接BO,延长BO到B',使得OB'=2OB,连接CO,延长CO到C',使得OC'=2OC,
则四边形A'B'C'D'就是所求作的四边形.(注意也可以把四边形A'B'C'D'画在位似中心的同侧)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.一个矩形按1∶4放大后,得到的图形与原图形比较,下列说法正确的是(C)
A.周长扩大16倍
B.周长缩小为原来的
C.面积扩大16倍
D.面积缩小为原来的
7.如图,△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心变换得到的,若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是9∶16,则OB'∶OB为(A)
A.3∶4 B.3∶2 C.4∶5 D.9∶16
8.如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比为1∶2;连接AA',C'C,则四边形AA'C'C的周长为(D)
A.8 B.6
C.4+4 D.6+4
9.(2024·贵阳白云区期末)如图,在平行四边形ABCD中,以C为位似中心,作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF,且与原图形的位似比为2∶3,连接BP,DP,若平行四边形ABCD的面积为20,则△PBE与△PDF的面积之和为 .
10.(素养提升题)如图,在△ABC中,P'是边AB上一点,四边形P'Q'M'N'是正方形,点Q',M'在边BC上,点N'在△ABC内.连接BN',并延长交AC于点N,过点N作NM⊥BC于点M,NP⊥MN交AB于点P,PQ⊥BC于点Q.
(1)求证:四边形PQMN为正方形;
(2)若∠A=90°,AC=1.5 m,△ABC的面积=1.5 m2.求PN的长.
【解析】(1)∵NM⊥BC,NP⊥MN,PQ⊥BC,∴四边形PQMN为矩形,
∵四边形P'Q'M'N'是正方形,
∴PN∥P'N',∴=,
∵MN∥M'N',∴=,∴=,而P'N'=M'N',∴PN=MN,
∴四边形PQMN为正方形.
(2)见全解全析
易错点 审题不清,错把点O作为位似中心
【案例】已知:△ABC在直角坐标平面内,将△ABC向上平移4个格,得到△A1B1C1,以点B1为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1位似,且位似比为2∶1.
【解析】见全解全析3.6 位似
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 利用位似计算点的坐标
1.(2023·嘉兴、舟山中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是(C)
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
2.(概念应用题)如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C坐标为(B)
A.(-1,-1) B. (-,-1)
C. (-1,-) D.(-2,-1)
3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为(C)
A.(0,0) B.(0,1)
C.(-3,2) D.(3,-2)
4.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(5,-2),以原点O为位似中心,把△ABO扩大为原来的2倍,则点B的对应点B'的坐标是 (10,-4)或(-10,4) .
知识点2 根据点的坐标画位似图形
5.(教材再开发·P99练习改编)(2024·铜仁思南县期末)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 .
(2)以原点O为位似中心,将△ABC放大,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1,请在网格内画出△A1B1C1.
(3)求出△A1B1C1的面积.
【解析】(1)A(-2,1),B(-3,-2),C(1,-2);
答案:(-2,1) (-3,-2) (1,-2)
(2)如图,△A1B1C1为所作;
(3)△A1B1C1的面积=×8×6=24.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.如图.在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-2,5),(0,5),(0,-1),(4,-1).若线段AB和CD是位似图形,位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为(D)
A.(0,1) B. (0,) C. (0,) D.(0,3)
7.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的,得到△COD,则CD的长度是(B)
A.1 B.2 C.2 D.
8.(2023·本溪中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2),若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍,则第一象限内点B'的坐标为 (4,6) .
9.(2024·六盘水质检)如图,已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形,P是位似中心,若点A的坐标为(0,6),点E的坐标为(2,3),则点B的坐标为 (-4,6) .
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)①以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1.
②画出将△OAB向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2.
(2)判断△OA1B1与△O2A2B2是不是位似图形,若是,请在图中标出位似中心M,并写出点M的坐标;若不是,请说明理由.
【解析】(1)①如图,△OA1B1为所作;
②如图,△O2A2B2为所作;
(2)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形.如图,点M为所求,坐标为M(-4,2).
易错点 位似中的漏解
【案例】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中心,将△OAB扩大为原来的4倍,则点A的对应点的坐标是(D)
A. (,1)
B. (-,-1)
C.(8,16)或(-16,-8)
D.(8,16)或(-8,-16)3.6 位似
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 位似图形
1.在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( )
A.四边形NPMQ B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ D.四边形NHMR
2.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,位似比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是( )
A.4 B.6 C.9 D.16
3.如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'位似,位似比k1=2,四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″位似,位似比k2=1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗 位似比是多少
知识点2 位似图形的画法
4.如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(2024铜仁碧江区期中)如图所示,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形,且位似比为2∶1.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.一个矩形按1∶4放大后,得到的图形与原图形比较,下列说法正确的是( )
A.周长扩大16倍
B.周长缩小为原来的
C.面积扩大16倍
D.面积缩小为原来的
7.如图,△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心变换得到的,若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是9∶16,则OB'∶OB为( )
A.3∶4 B.3∶2 C.4∶5 D.9∶16
8.如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比为1∶2;连接AA',C'C,则四边形AA'C'C的周长为( )
A.8 B.6
C.4+4 D.6+4
9.(2024·贵阳白云区期末)如图,在平行四边形ABCD中,以C为位似中心,作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF,且与原图形的位似比为2∶3,连接BP,DP,若平行四边形ABCD的面积为20,则△PBE与△PDF的面积之和为 .
10.(素养提升题)如图,在△ABC中,P'是边AB上一点,四边形P'Q'M'N'是正方形,点Q',M'在边BC上,点N'在△ABC内.连接BN',并延长交AC于点N,过点N作NM⊥BC于点M,NP⊥MN交AB于点P,PQ⊥BC于点Q.
(1)求证:四边形PQMN为正方形;
(2)若∠A=90°,AC=1.5 m,△ABC的面积=1.5 m2.求PN的长.
易错点 审题不清,错把点O作为位似中心
【案例】已知:△ABC在直角坐标平面内,将△ABC向上平移4个格,得到△A1B1C1,以点B1为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1位似,且位似比为2∶1.
