第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 锐角的正弦
1.(概念应用题)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水市盘县期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,则sin B=
.
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a∶c=2∶3,求sin A和sin B的值.
知识点2 锐角正弦值的应用
4.(2024·铜仁碧江区期中)在△ABC中,若sin A=,且∠B=90°,AC=4,则CB=( )
A.8 B.2 C.1 D.2
5.如图,菱形ABCD的边长为10 cm,DE⊥AB,sin A=,求DE的长和菱形ABCD的面积分别为 , .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=15,求△ABC的周长.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.在Rt△ABC中,把各边都缩小到原来的,那么sinA的值( )
A.缩小 B.不变
C.扩大5倍 D.无法确定
8.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,2),如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sin α的值是( )
A. B.2 C. D.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sin A=,则斜边上的高等于( )
A.5 B.4.8 C.4.6 D.4
10.(2023·益阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为 .
12.Rt△ABC中,若∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=15,b=8,则sinA+ sinB= .
13.如图,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BE=4,BC=6,则sin∠DAC= .
14.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,点D在BC边上,且∠ADC=45°,DC=6,求AB的长.
15.(素养提升题)如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
易错点 忽视锐角正弦的条件——在直角三角形中
【案例】a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式4b2=4c2-4a2,且有10a=6c.求sinA,sinB的值.第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 锐角的正弦
1.(概念应用题)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值是(D)
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水市盘县期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,则sin B=
.
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a∶c=2∶3,求sin A和sin B的值.
【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
a∶c=2∶3,设a=2k,c=3k,
∴b==k.
∴sin A===,sin B===.
知识点2 锐角正弦值的应用
4.(2024·铜仁碧江区期中)在△ABC中,若sin A=,且∠B=90°,AC=4,则CB=(B)
A.8 B.2 C.1 D.2
5.如图,菱形ABCD的边长为10 cm,DE⊥AB,sin A=,求DE的长和菱形ABCD的面积分别为 6 cm , 60 cm2 .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=15,求△ABC的周长.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A==,
∴BC=12,AC===9.
∴△ABC的周长为9+12+15=36.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.在Rt△ABC中,把各边都缩小到原来的,那么sinA的值(B)
A.缩小 B.不变
C.扩大5倍 D.无法确定
8.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,2),如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sin α的值是(D)
A. B.2 C. D.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sin A=,则斜边上的高等于(B)
A.5 B.4.8 C.4.6 D.4
10.(2023·益阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC=(C)
A. B. C. D.
11.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为 .
12.Rt△ABC中,若∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=15,b=8,则sinA+ sinB= .
13.如图,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,BE=4,BC=6,则sin∠DAC= .
14.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,点D在BC边上,且∠ADC=45°,DC=6,求AB的长.
【解析】∵∠C=90°,∠ADC=45°,DC=6,
∴AC=6,∴AB==10.
15.(素养提升题)如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin∠ECM的值.
【解析】设AE=x,则BE=3x,BC=AB=4x,AM=2x,CD=4x,
∴EC==5x,
EM==x,
CM==2x,
∴EM2+CM2=CE2,
∴△CEM是直角三角形,
∴sin∠ECM===.
易错点 忽视锐角正弦的条件——在直角三角形中
【案例】a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式4b2=4c2-4a2,且有10a=6c.求sinA,sinB的值.
【解析】由4b2=4c2-4a2得,b2=c2-a2,
∴c2=a2+b2,即△ABC为直角三角形,c是斜边,由10a=6c得=,
设a=3k,c=5k,则b==4k,
∴sinB===,sinA===.
