4.1 正弦和余弦
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 特殊角的正弦值
1.已知α为锐角,且sin(α-10°)=,则α等于( )
A.60° B.70° C.50° D.80°
2.(2023·毕节七星关区模拟)sin 60°= .
3.根据下列条件,确定锐角α的值:
(1)sin(α+10°)-=0;
(2)4sin2α-4sinα+1=0.
知识点2 计算器与正弦值
4.用科学计算器比较大小:
4sin44° .
5.若sinB=0.142 6,则∠B= .(精确到1°)
知识点3 锐角的正弦值的综合应用
6.如果∠A是锐角,且sinA=,那么∠A的范围是( )
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
7.(2024·黔南州独山县期末)如图所示,在边长相同的小正方形组成的网格中,两条经过格点的线段相交所成的锐角为α,则夹角α的正弦值为 .
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,求sin∠ABE.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.-sin60°的倒数为( )
A.-2 B.- C.- D.-3
10.(易错警示题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子中,不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=1,则∠A的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A的正弦值是,那么∠B的正弦值是 .
13.用科学计算器计算 sin37.5°(比较大小)
14.(2024·遵义凤冈县期末)如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在格点上,则∠ACB的正弦值是 .
15.已知∠A,∠B是△ABC中的两个锐角,且(sin A-)2+=0,求∠C的度数.
16.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sinA+sinB的值.
17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,过点A作AE⊥CD,垂足为M,交BC于点E,AM=2CM.
(1)求sinB的值;
(2)若CD=,求BC的长.
易错点 忽略正弦值的范围
【案例】若α为锐角,化简= . 4.1 正弦和余弦
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 特殊角的正弦值
1.已知α为锐角,且sin(α-10°)=,则α等于(B)
A.60° B.70° C.50° D.80°
2.(2023·毕节七星关区模拟)sin 60°= .
3.根据下列条件,确定锐角α的值:
(1)sin(α+10°)-=0;
(2)4sin2α-4sinα+1=0.
【解析】(1)sin(α+10°)-=0,
∴sin(α+10°)=,
∴α+10°=60°,
∴α=50°;
(2)4sin2α-4sinα+1=0,
∴(2sinα-1)2=0,
∴sinα=,∴α=30°.
知识点2 计算器与正弦值
4.用科学计算器比较大小:
4sin44° < .
5.若sinB=0.142 6,则∠B= 8° .(精确到1°)
知识点3 锐角的正弦值的综合应用
6.如果∠A是锐角,且sinA=,那么∠A的范围是(C)
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
7.(2024·黔南州独山县期末)如图所示,在边长相同的小正方形组成的网格中,两条经过格点的线段相交所成的锐角为α,则夹角α的正弦值为 .
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处,若EA'的延长线恰好过点C,求sin∠ABE.
【解析】由折叠知,A'E=AE,A'B=AB=6,∠BA'E=90°,∴∠BA'C=90°.
在Rt△A'CB中,A'C==8.
设AE=x,则A'E=x,
∴DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x,
∴在Rt△CDE中,(10-x)2+36=(8+x)2,
解得:x=2,
∴AE=2,
∴在Rt△ABE中,BE==2,
∴sin∠ABE===.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.-sin60°的倒数为(C)
A.-2 B.- C.- D.-3
10.(易错警示题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子中,不等于sinA的是(D)
A. B. C. D.
11.在△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=1,则∠A的度数为(B)
A.30° B.45° C.60° D.75°
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A的正弦值是,那么∠B的正弦值是 .
13.用科学计算器计算 > sin37.5°(比较大小)
14.(2024·遵义凤冈县期末)如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在格点上,则∠ACB的正弦值是 .
15.已知∠A,∠B是△ABC中的两个锐角,且(sin A-)2+=0,求∠C的度数.
【解析】由非负数的性质,得
∴sinA=,sinB=.
∴∠A=30°,∠B=45°.∴∠C=105°.
16.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b,c满足等式b2=(c+a)(c-a),且5b-4c=0,求sinA+sinB的值.
【解析】∵b2=(c+a)(c-a),
∴b2=c2-a2,即:a2+b2=c2,
∴△ABC是以c为斜边的Rt△ABC,
∵5b-4c=0,∴=.
设b=4k,则c=5k,∴a=3k,
∴sinA+sinB=+=+=.
17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,过点A作AE⊥CD,垂足为M,交BC于点E,AM=2CM.
(1)求sinB的值;
(2)若CD=,求BC的长.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,∴CD=BD,∴∠B=∠DCB.
∵AE⊥CD,∴∠ACD+∠CAM=90°.
∵∠DCB+∠ACD=90°,∴∠DCB=∠CAM.
∴∠B=∠CAM.
在Rt△ACM中,∵AM=2CM,∴AC===CM,
∴sinB=sin∠CAM====.
(2)∵CD=,∴AB=2CD=2.
由(1)知sinB=,
∴AC=AB×sinB=2×=2.
∴BC===4.
易错点 忽略正弦值的范围
【案例】若α为锐角,化简= 1-sinα .
